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{{Infobox mathematical statement
| name = 格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理
| image = Grothendieck-Riemann-Roch.jpg
| caption = 格罗滕迪克对格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理的评价
| field = [[代数几何]]
| conjectured by = 
| conjecture date = 
| first proof by = [[亚历山大·格罗滕迪克]]
| first proof date = 1957
| open problem = 
| known cases = 
| implied by =
| equivalent to = 
| generalizations = [[阿蒂亚-辛格指标定理]]
| consequences = [[希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理]]<br>[[曲面的黎曼-罗赫定理]]<br>[[黎曼-罗赫定理]]
}}
[[代数几何]]中，'''格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理'''是关于[[相干层上同调]]的意义深远的结果。它是关于[[复流形]]的[[希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理]]的推广，其又是对紧[[黎曼曲面]]上[[线丛]]的经典[[黎曼-罗赫定理]]的推广。

黎曼-罗赫型定理将[[向量丛]][[上同调]]的[[欧拉示性数]]与其[[拓扑度理论|拓扑度]]，或更一般地与其（上）同调中的示性类或其代数类似物联系起来。经典的黎曼-罗赫定理针对的是曲线和线丛，而希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理将其推广到流形上的向量丛。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理将这两个定理置于两个流形（或更一般的[[概形]]）之间[[态射]]的相对情形中，并将该定理丛关于单一丛的陈述变为适用于[[层 (数学)|层]]的[[链复形]]的陈述。

格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理对[[阿蒂亚-辛格指标定理]]的发展影响深远，反过来，格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理的[[复分析]]类比也可以用族的指标定理来证明。1957年，[[亚历山大·格罗滕迪克]]在一份后来出版的手稿中给出了首个证明。、<ref>A. Grothendieck. Classes de faisceaux et théorème de Riemann–Roch (1957). Published in SGA 6, Springer-Verlag (1971), 20-71.</ref>Armand Borel与[[让-皮埃尔·塞尔]]撰写并发表了他的证明（1958）。<ref>{{Cite journal |last1=Borel |first1=Armand |author1-link=Armand Borel |last2=Serre |first2=Jean-Pierre |author2-link=Jean-Pierre Serre |year=1958 |title=Le théorème de Riemann-Roch |url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1958__86__97_0 |journal=[[Bulletin de la Société Mathématique de France]] |volume=86 |pages=97–136 |doi=10.24033/bsmf.1500 |mr=0116022 |doi-access=free |access-date=2023-11-21 |archive-date=2023-11-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20231129115837/http://www.numdam.org/item/?id=BSMF_1958__86__97_0 |dead-url=no }}</ref>后来，格罗滕迪克与合作者对证明进行了简化与推广。<ref>SGA 6, Springer-Verlag (1971).</ref>

==公式==
令''X''为[[域 (数学)|域]]上的[[光滑概形|光滑]][[拟射影簇|拟射影概形]]，[[凝聚层]]的有界复形的[[格罗滕迪克群]]<math>K_0(X)</math>规范同构（canonically isomorphic）于秩有限向量丛的有界复形的格罗滕迪克群。利用这种同构，将[[陈类#陈示性|陈示性]]（[[陈类]]的有理组合）视作一种[[函子]]式变换：

:<math>\mathrm{ch} \colon K_0(X) \to A(X, \Q),</math>
其中<math>A_d(X,\Q)</math>是''d''维的''X''上的循环的[[周环|周群]]，模去有理等价，以有理数[[张量积|张开]]。若''X''定义在[[复数]]上，则后一个群映射到拓扑[[上同调群]]：
:<math>H^{2\dim(X) - 2d}(X, \Q).</math>

现在考虑光滑拟射影概形与<math>X</math>上的层<math>{\mathcal F^\bull}</math>的有界复形之间的[[真射]]<math>f \colon X \to Y</math>。

'''格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理'''涉及前推映射
:<math>f_{!} = \sum (-1)^i R^i f_* \colon K_0(X) \to K_0(Y)</math>

（高阶直像的交替和）与前推

:<math>f_* \colon A(X) \to A(Y),</math>

由公式

:<math qid=Q1899432> \mathrm{ch} (f_{!}{\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(Y) = f_* (\mathrm{ch}({\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(X) ). </math>

其中<math>\mathrm{td}(X)</math>是''X''（的[[切丛]]）的Todd属。因此，定理给出了度量上述前推的缺乏交换性的方法，并表明所需的修正函子只取决于''X''、 ''Y''。事实上，由于Todd属在[[正合序列]]中是函子、乘法的，可以将格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式重写为

:<math> \mathrm{ch}(f_{!}{\mathcal F}^\bull) = f_* (\mathrm{ch}({\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(T_f) ),</math>

其中<math>T_f</math>是''f''的相对切层，定义为元素<math>TX - f^*(TY)\in K_0(X)</math>。例如，当''f''是[[光滑态射]]时，<math>T_f</math>就只是向量丛，即沿''f''的纤维的切丛。

{{harvtxt|Navarro|Navarro|2017}}运用[[A1同伦论]]，将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到''f''是两光滑概形间的[[真映射]]。

==泛化与特化==
考虑组合<math>\mathrm{ch}(-)\mathrm{td}(X)</math>的适当推广，可将定理推广到非光滑情况；考虑具有紧[[支集]]的上同调，可将定理推广到非真（non-proper）情况。
 
算术黎曼-罗赫定理将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到算术概形（arithmetic scheme）。

[[希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理]]（本质上）是''Y''为点、域为复数域的特例。

有向上同调论的黎曼-罗赫定理由Ivan Panin与Alexander Smirnov提出。<ref>{{cite web|first1=Ivan|last1=Panin|first2=Alexander|last2=Smirnov|title=Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties|year=2002|url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0459/|access-date=2023-11-21|archive-date=2016-12-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20161207212241/http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0459/|dead-url=no}}</ref>它涉及代数有向上同调论之间的乘法（如代数[[配边]]）。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是这结果的特殊情况，这时自然会出现陈示性。<ref>{{citation|author1-link=Fabien Morel|last1=Morel|first1=Fabien|last2=Levine|first2=Marc|title=Algebraic cobordism|url=http://www.uni-due.de/%7Ebm0032/publ/AlgCobordBook4.pdf|publisher=Springer|accessdate=2023-11-21|archive-date=2022-01-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20220121053622/https://www.uni-due.de/~bm0032/publ/AlgCobordBook4.pdf|dead-url=no}}, see 4.2.10 and 4.2.11</ref>

== 例子 ==
=== 曲线上的向量丛 ===
域<math>k</math>的光滑射影曲线上秩为<math>n</math>、度为<math>d</math>（定义为其行列式；或等价地，其第一陈类的度）的向量丛<math>E \to C</math>有类似于线丛的黎曼-罗赫形式的公式。若取点<math>X = C</math>、<math>Y = \{*\}</math>，则格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式可理解为

:<math> \begin{align}
\mathrm{ch}(f_{!}{\mathcal F}^\bull) &= h^0(C,E) - h^1(C,E) \\
f_*(\mathrm{ch}(E)\mathrm{td}(X))&= f_*((n + c_1(E))(1 + (1/2)c_1(T_C))) \\
&= f_*(n + c_1(E) + (n/2)c_1(T_C)) \\
&= f_*(c_1(E) + (n/2)c_1(T_C)) \\
&= d + n(1-g);
\end{align}</math>

于是

:<math>\chi(C,E) = d + n(1-g).</math><ref>{{Cite book|last1=Morrison|title=Moduli of curves| last2=Harris |pages=154}}</ref>

此式也适于秩为<math>n</math>、度为<math>d</math>的相干层。

=== 光滑真射 ===
格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式的优点之一是可解释为希策布鲁赫-黎曼-罗赫公式的相对版本。例如，光滑态射<math>f\colon X \to Y</math>的纤维都是等维的（在基变为<math>\Complex</math>时作为拓扑空间是同构的）。在模理论中考虑由模空间<math>\mathcal{M}</math>对光滑真空间进行参数化时，这事实非常好用。例如，[[戴维·芒福德]]用它推导了代数曲线模空间上的周环关系。<ref name=":0">{{Cite book|last=Mumford|first=David|title=Arithmetic and Geometry|chapter=Towards an Enumerative Geometry of the Moduli Space of Curves|author-link=David Mumford|chapter-url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4757-9286-7_12|year=1983|pages=271–328|doi=10.1007/978-1-4757-9286-7_12|isbn=978-0-8176-3133-8|access-date=2023-11-21|archive-date=2023-11-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20231121155108/https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4757-9286-7_12|dead-url=no}}</ref>

==== 曲线的模 ====
对<math>g</math>属曲线（且无标记点）的模叠<math>\overline{\mathcal{M}}_g</math>，有通用曲线<math>\pi\colon\overline{\mathcal{C}}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g</math>，其中<math>\overline{\mathcal{C}}_g = \overline{\mathcal{M}}_{g,1}</math>是属<math>g</math>曲线和一个标记点的模叠。然后定义'''重言类'''

:<math>\begin{align}
K_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g} &= c_1(\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g})\\
\kappa_l &= \pi_*(K^{l+1}_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}) \\
\mathbb{E} &= \pi_*(\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}) \\
\lambda_l &= c_l(\mathbb{E})
\end{align}</math>

其中<math>1 \leq l \leq g</math>与<math>\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}</math>是相关的对偶化层。注意<math>\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}</math>在点<math>[C] \in \overline{\mathcal{M}}_g</math>上的纤维，这就是对偶化层<math>\omega_C</math>。可利用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理找到光滑轨迹的周环<math>A^*(\mathcal{M}_g)</math>上的<math>\kappa_i</math>之和<ref name=":0" /> (corollary 6.2)，从而找到描述<math>\lambda_i</math>的<math>\lambda_i</math>、<math>\kappa_i</math>间的关系。由于<math>\overline{\mathcal{M}}_g</math>是光滑[[德利涅-芒福德叠]]，可考虑由概形<math>\tilde{\mathcal{M}}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g</math>的覆盖，对某个有限群<math>G</math>可给出<math>\overline{\mathcal{M}}_g = [\tilde{\mathcal{M}}_g/G]</math>。对<math>\omega_{\tilde{\mathcal{C}}_g/\tilde{\mathcal{M}}_g}</math>应用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理，可得

:<math>\mathrm{ch}(\pi_!(\omega_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}})) = \pi_*(\mathrm{ch}(\omega_{\tilde{\mathcal{C}}/ \tilde{\mathcal{M}}}) \mathrm{Td}^\vee(\Omega^1_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}}))</math>

因为

:<math>\mathbf{R}^1\pi_!({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}}) \cong \mathcal{O}_{\tilde{M}},</math>

由上式可知

:<math>\mathrm{ch}(\mathbb{E}) = 1 + \pi_*(\text{ch}(\omega_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}}) \text{Td}^\vee (\Omega^1_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}})).</math>

这样，<math>\mathrm{ch}(\mathbb{E})</math>的计算可以进一步减少。在偶数维<math>2k</math>，

:<math>\text{ch}(\mathbb{E})_{2k} = 0.</math>

另外在1维，

:<math>\lambda_1 = c_1(\mathbb{E}) = \frac{1}{12}(\kappa_1 + \delta),</math>

其中<math>\delta</math>是边界上的一个类。<math>g=2</math>时，在光滑轨迹<math>\mathcal{M}_g</math>上有如下关系

:<math>\begin{align}
\lambda_1 &= \frac{1}{12}\kappa_1 \\
\lambda_2 &= \frac{\lambda_1^2}{2} = \frac{\kappa_1^2}{288}
\end{align}</math>

可通过分析<math>\mathbb{E}</math>的陈示性推得。

=== 闭嵌入 ===
闭嵌入<math>f\colon Y \to X</math>也可用格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式描述，其显示了公式成立的另一种非平凡情形。<ref>{{Cite book|last=Fulton|title=Intersection Theory|pages=297}}</ref>对<math>n</math>维光滑簇<math>X</math>及余维为<math>k</math>的子簇<math>Y</math>，有

:<math>c_k(\mathcal{O}_Y) = (-1)^{k-1}(k-1)![Y]</math>

由短正合序列

:<math>0 \to \mathcal{I}_Y \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y \to 0</math>,

有下式

:<math>c_k(\mathcal{I}_Y) = (-1)^k(k-1)![Y]</math>

for the ideal sheaf since <math>1 = c(\mathcal{O}_X) = c(\mathcal{O}_Y)c(\mathcal{I}_Y)</math>.

== 应用 ==

=== 模空间的准射影性 ===
过两天都是-黎曼-罗赫公式可用于证明粗糙模空间<math>M</math>（如有尖代数曲线的模空间<math>M_{g,n}</math>）可嵌入到射影空间，因此是[[准射影簇]]。这可以通过观察<math>M</math>上的规范相伴层（canonically associated sheaf）、研究相伴线丛的度实现。例如，<math>M_{g,n}</math><ref name=":1">{{Cite journal|last=Knudsen|first=Finn F.|date=1983-12-01|title=The projectivity of the moduli space of stable curves, III: The line bundles on <math>M_{g,n}</math>, and a proof of the projectivity of <math>\bar{M}_{g,n}</math> in characteristic 0.|url=https://www.mscand.dk/article/view/12002|journal=Mathematica Scandinavica|language=en|volume=52|pages=200–212|doi=10.7146/math.scand.a-12002|issn=1903-1807|doi-access=free}}</ref>有曲线族

:<math>\pi\colon C_{g,n} \to M_{g,n}</math>

有截面

:<math>s_i\colon M_{g,n} \to C_{g,n}</math>

对应标记点。由于每根纤维都有规范丛<math>\omega_{C}</math>，有相伴线丛
<math display="block">\Lambda_{g,n}(\pi) = \det(\mathbf{R}\pi_*(\omega_{C_{g,n}/M_{g,n}}))</math>
及
<math display="block">\chi_{g,n}^{(i)} = s_i^*(\omega_{C_{g,n}/M_{g,n}}) .</math>
于是

:<math>\Lambda_{g,n}(\pi) \otimes \left(\bigotimes_{i=1}^n \chi_{g,n}^{(i)}\right)</math>

是[[丰沛线丛]]<ref name=":1" />{{rp|209}}，因此粗糙模空间<math>M_{g,n}</math>是准射影的。

== 历史 ==
[[亚历山大·格罗滕迪克]]的黎曼-罗赫定理最初是在1956–1957年左右写给[[让-皮埃尔·塞尔]]的一封信中提出的。1957年，在第一届波恩工作会议（Bonn Arbeitstagung）上公开发表，随后塞尔和Armand Borel在[[普林斯顿大学]]组织了一次研讨会来理解它。最后发表的论文实际上就是Borel–塞尔的论述。

格罗滕迪克方法的意义在于以下几点。首先，格罗滕迪克改变了陈述本身：人们当时认为定理是关于[[代数簇]]的，而格罗滕迪克指出其实际上是簇间态射的定理。他找到了正确的推广，使证明变得简单，而结论变得更宽泛。简言之，格罗滕迪克将一种强[[范畴论 (数学)|范畴]]方法一项艰巨的[[数学分析|分析]]。此外，如上所述，格罗滕迪克引入了K-群，为[[代数K-理论]]铺平了道路。

== 另见 ==
*[[川崎黎曼–罗赫公式]]<!-- subsumed in the Riemann–Roch for algebraic stacks -->

==注释==
{{Reflist}}

==参考文献==
*{{cite book | last = Berthelot | first = Pierre | author-link = Pierre Berthelot |editor=Alexandre Grothendieck |editor-link=Alexandre Grothendieck |editor2=Luc Illusie |editor2-link=Luc Illusie | title = Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Lecture notes in mathematics '''225''') | series = [[Lecture Notes in Mathematics]] | year = 1971 | volume = 225 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] | location = Berlin; New York| language = fr | pages = xii+700 | no-pp = true |doi=10.1007/BFb0066283 |isbn= 978-3-540-05647-8}}
* {{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | last2=Serre | first2=Jean-Pierre | author2-link=Jean-Pierre Serre | title=Le théorème de Riemann–Roch | mr=0116022 | year=1958 | journal=[[Bulletin de la Société Mathématique de France]] | volume=86 | pages=97–136 | doi=10.24033/bsmf.1500 | issn=0037-9484 | language=fr | doi-access=free }}
* {{Citation | last1=Fulton | first1=William | author1-link=William Fulton (mathematician) | title=Intersection theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=3-540-62046-X | mr=1644323 | year=1998 | zbl=0885.14002 | edition=2nd | series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]]. 3. Folge. | volume=2 }}
* {{Citation|title=On the Riemann-Roch formula without projective hypothesis| last1=Navarro |first1=Alberto |last2=Navarro| first2=José |year=2017 |arxiv=1705.10769|bibcode=2017arXiv170510769N}}
* {{cite web|last1=Panin|first1=Ivan|last2=Smirnov|first2=Alexander|title=Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties|date=2000|url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0459/}}
*{{cite book |doi=10.1017/CBO9781139062046.016|chapter=The Grothendieck Riemann–Roch theorem |title=3264 and All That |year=2016 |pages=481–510 |isbn=9781107017085 }}

==外部链接==
* [http://abel.harvard.edu/theses/senior/patrick/patrick.pdf The Grothendieck-Riemann-Roch Theorem] {{Wayback|url=http://abel.harvard.edu/theses/senior/patrick/patrick.pdf |date=20230629054634 }}
*The [https://mathoverflow.net/questions/43768/applications-of-grothendieck-riemann-roch thread] {{Wayback|url=https://mathoverflow.net/questions/43768/applications-of-grothendieck-riemann-roch |date=20231121155123 }} "Applications of Grothendieck-Riemann-Roch?" on [[MathOverflow]].
* The [https://mathoverflow.net/q/63095 thread] "how does one understand GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" on [[MathOverflow]].
*The [https://math.stackexchange.com/q/1749776 thread] "Chern class of ideal sheaf" on [[Stack Exchange]].

[[Category:拓扑方法代数几何]]
[[Category:代数几何定理]]
[[Category:伯恩哈德·黎曼]]