查看“︁格爾豐德-施奈德常數”︁的源代码

{{Infobox number
| name=2的<math>\sqrt{2}</math>次方
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| number=<math>2^{\sqrt{2}}</math>
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| value=<math>2^{\sqrt{2}}\approx</math>2.6651441...
| OEIS=A007507
| 發現者=
| other name=格爾豐德-施奈德常數<br/>希爾伯特數<ref>{{citation|authorlink=Richard Courant|authorlink2=Herbert Robbins|first1=R.|last1=Courant|first2=H.|last2=Robbins|title=What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods|publisher=Oxford University Press|year=1996|page=107}}</ref>
| type=[[無理數]]<br/>[[超越數]]
| basedata = {{Infobox number/base
| 二進制 = {{FractionalGaps|{{進制|2|2.66514414269022518865029724987313|precision=24}}|4|…}}
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'''格爾豐德-施奈德常數'''即為2的<math>\sqrt{2}</math>次方，其值为：
:<math>2^{\sqrt{2}}=2.6651441...</math>
[[羅季翁·庫兹明]]在1930年證明此數字是[[超越数]]<ref name=Kuzmin>{{cite journal |author=R. O. Kuzmin |title=On a new class of transcendental numbers |journal=Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. matem. |volume=7 |year=1930 |pages=585–597 |url=http://mi.mathnet.ru/eng/izv5316}}</ref>。
1934年蘇聯數學家[[亞歷山大·格爾豐德]]和德國數學家[[西奧多·施耐德]]分別獨立證明了更一般的[[格尔丰德-施奈德定理]]<ref>{{cite journal |author=Aleksandr Gelfond |title=Sur le septième Problème de Hilbert |journal=Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na |volume=VII |issue=4 |pages=623–634 |year=1934 |url=http://mi.mathnet.ru/eng/izv4924 |access-date=2021-11-01 |archive-date=2020-06-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200611045713/http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=4924&option_lang=eng |dead-url=no }}</ref>，因此证明格爾豐德-施奈德常數為[[超越数]]，也回答了[[希爾伯特第七問題]]。

它的[[平方根]]
:<math>\sqrt{2^{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}=1.6325269...</math>

也是一个超越数。在[[#無理數的無理數次方為有理數|無理數的無理數次方為有理數]]這個命題中，它可用來提供一個經典、簡捷的證明。

== 無理數的無理數次方為有理數 ==
儘管已知 <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> 是超越數，自然也就會是[[無理數]]。但在不知道它是無理數的情況下，仍可以證明此事。

命題：存在 a, b 是無理數，使得 <math>a^b</math>為有理數。

證明：

已知<math>\sqrt{2}</math>是無理數，考慮 <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math>，它有可能是有理數，也可能是無理數。
* 若 <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> 是有理數，即得證。
* 若 <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> 是無理數，則
:<math>\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=(\sqrt{2})^{\sqrt{2}\ \times\sqrt{2}}=(\sqrt{2})^{2}=2.</math>
為有理數，得證。

== 希尔伯特第七问题 ==
{{main|希爾伯特第七問題}}
希尔伯特的第七个问题是要证明（或找出反例），如果''a''是一个不等于0或1的代数数，''b''是一个无理代数数，则''a<sup>b</sup>''总是超越数。他给出了两个例子，其中一个就是<math>2^{\sqrt{2}}</math>。

1919年，他发表了一个关于[[数论]]的演讲，谈到了三个猜想：[[黎曼猜想]]、[[费马大定理]]和<math>2^{\sqrt{2}}</math>的超越性。他对观众说，在你们还活着的时候肯定没人证明这三个猜想。<ref>David Hilbert, ''Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919-1920''.</ref>但这个数的超越性在1934年得出证明<ref>Aleksandr Gelfond, ''Sur le septième Problème de Hilbert,'' Bull. Acad. Sci. URSS Leningrade '''7''', pp.623-634, 1934.</ref>，当时希尔伯特还活着。

== 参见 ==
* [[e的π次方]]
* [[希尔伯特数]]

== 参考文献 ==
<references/>

{{無理數導航}}

[[Category:实数超越数]]
[[Category:數學常數]]