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'''格林-陶定理'''（{{lang-en|Green-Tao theorem}}）是{{link-en|本·格林|Ben_Green_(mathematician)}}和[[陶哲轩]]于2004年证明的一个关于[[质数]]组成的[[等差数列]]存在性定理<ref name='original paper'>{{citation|doi=10.4007/annals.2008.167.481|first1=Ben|last1=Green|author1-link=:en:Ben_Green_(mathematician)|first2=Terence|last2=Tao|author2-link=陶哲轩|arxiv=math.NT/0404188 |title=The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions|journal=[[数学年刊|Annals of Mathematics]]|volume=167|year=2008|issue=2|pages=481–547}}.</ref>。质数序列包含任意长的等差数列，是格林-陶定理的著名推论。

== 定理内容 ==

对于任意的素数集合的子集<math>A</math>，若<math>A</math>相对于素数集合的上密度（{{lang-en|upper density}}）为正，即：

: <math>\limsup_{N\rightarrow\infty} \dfrac{|A\cap [1,N]|}{\pi(N)}>0</math>
: 其中，<math>\pi(N)</math>代表不大于<math>N</math>的素数的个数。

那么：

: 对于任意的正整数<math>k</math>，<math>A</math>中的元素可以组成任意多个长度为<math>k</math>的等差数列。<ref name='original paper'/>

== 推论 ==

格林-陶定理有以下两个直接的推论：

* 对于任意正整数<math>k</math>，质数序列中存在任意多长度为<math>k</math>的等差子序列
* 质数序列中包含有任意长的等差子序列

== 目前已知的最長質數等差數列 ==

质数序列中长度为<math>k</math>的等差子序列，對於1≤n≤k，目前最好的結果是對於k=26，此等差數列為：

: {'''a<sub>n</sub>=43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 ·(n-1)'''}

== 相关定理与猜想 ==

* 格林-陶定理是[[塞迈雷迪定理]]在素数集上的推广。
* 格林-陶定理是[[埃尔德什等差数列猜想]]的一个特例。
* 更強的猜想是對於任何正整數r，質數序列中都存在任意長度非r−1階階差數列的r階[[階差數列]]（0階階差數列是[[常數數列]]，1階階差數列是[[等差數列]]，依此類推），格林-陶定理就是r=1的特例。對於2階階差數列，质数序列中长度为<math>k</math>的二階階差子序列，對於0≤n≤k−1，目前最好的結果是對於k=45，此數列為36n^2-810n+2753（不管各項的大小順序，只要序列中沒有重複的質數就可以）。

== 参考文献 ==

{{Reflist}}

== 外部链接 ==
*[http://mathworld.wolfram.com/news/2004-04-12/primeprogressions MathWorld news article on proof] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/news/2004-04-12/primeprogressions |date=20210309192936 }}
*[http://primerecords.dk/aprecords.htm Primes in Arithmetic Progression Records] {{Wayback|url=http://primerecords.dk/aprecords.htm |date=20140714181112 }}

[[Category:素数]]
[[Category:数论]]
[[Category:拉姆齊理論]]

{{数论小作品}}