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'''格林恆等式'''（{{lang|en|Green's identities}}）乃是[[向量分析]]的一組共三條恆等式，以發現[[格林定理]]的英國數學家[[喬治·格林]]命名。

==格林第一恆等式==
設定[[向量場]]<math>\mathbf{F}=\psi \nabla \phi </math>；其中，在<math>\mathbb{R}^3</math>的某區域<math>\mathbb{U}</math>內，<math>\phi</math>是二次連續可微標量函數，<math>\psi</math>是一次連續可微標量函數，則從[[散度定理]]，
: <math>\int_\mathbb{U} \nabla\cdot\mathbf{F} \, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\, \mathrm{d}S</math>，

可以推導出格林第一恆等式<ref name="strauss">{{cite book|last=Strauss|first=Walter|title=Partial Differential Equations: An Introduction|publisher=Wiley}}</ref>：
: <math>\int_\mathbb{U}(\psi \nabla^2 \phi+\nabla \phi \cdot \nabla \psi)\, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \psi{\partial \phi \over \partial n}\, \mathrm{d}S</math>；

其中，<math>\partial \mathbb{U}</math>是區域<math>\mathbb{U}</math>的邊界，<math>\frac{\partial}{\partial n}</math>是取於邊界面<math>\partial \mathbb{U}</math>的[[法向導數]]，即<math>\frac{\partial\phi}{\partial n}= \nabla \phi \cdot \mathbf{n}</math>。

==格林第二恆等式==
假若在區域<math>\mathbb{U}</math>內，<math>\phi</math>和<math>\psi</math>都是二次連續可微，則可交換<math>\phi</math>與<math>\psi</math>，從<math>(\psi,\phi)</math>的格林第一恆等式得到<math>(\phi,\psi)</math>的格林第一恆等式。將這兩個恆等式相減，則可得到格林第二恆等式：
: <math> \int_\mathbb{U} \left( \psi \nabla^2 \phi - \phi \nabla^2 \psi\right)\, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \left( \psi {\partial \phi \over \partial n} - \phi {\partial \psi \over \partial n}\right)\, \mathrm{d}S</math>。

==格林第三恆等式==
假設函數<math>G</math>是[[拉普拉斯方程式]]的[[基本解]]（{{lang|en|fundamental solution}}）：
:<math> \nabla^2 G(\mathbf{x},\mathbf{x}') = \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}')</math>；

其中，<math>\delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}')</math>是[[狄拉克δ函數]]。

例如，在'''R'''<sup>3</sup>，基本解的形式為
:<math>G(\mathbf{x},\mathbf{x}')={-1 \over 4 \pi\|\mathbf{x} - \mathbf{x}' \|}</math>。

函數<math>G</math>稱為[[格林函數]]。對於變數<math>\mathbf{x}</math>與<math>\mathbf{x}'</math>的交換，格林函數具有[[對稱性]]，即<math>G(\mathbf{x},\mathbf{x}') =G(\mathbf{x}',\mathbf{x}) </math>。

設定<math>\phi=G</math>，在區域<math>\mathbb{U}</math>內，<math>\psi</math>是二次連續可微。假若<math>\mathbf{x}</math>在積分區域<math>\mathbb{U}</math>內，則應用[[狄拉克δ函數]]的定義，
: <math>\psi(\mathbf{x} )  - \int_\mathbb{U} \left[ G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \nabla'^{\,2} \psi(\mathbf{x}')\right]\, \mathrm{d}V'=  \oint_{\partial \mathbb{U}} \left[\psi(\mathbf{x}') {\partial G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \over \partial n'}  -  G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) {\partial \psi(\mathbf{x}') \over \partial n'} \right]  \, \mathrm{d}S'</math>；

其中，<math>dV'</math>、<math>dS'</math>分別積分<math>\mathbf{x}'</math>於<math>\mathbb{U}</math> 

這是格林第三恆等式。假若<math>\psi</math>是[[調和函數]]，即[[拉普拉斯方程式]]的解：
: <math>\nabla'^{\,2} \psi(\mathbf{x}')=0</math>，

則這恆等式簡化為
: <math>\psi(\mathbf{x}) =  \oint_{\partial \mathbb{U}} \left[\psi(\mathbf{x}') {\partial G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \over \partial n'}  -  G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) {\partial \psi(\mathbf{x}') \over \partial n'} \right]  \, \mathrm{d}S'</math>。 

==參閱==
*[[向量恆等式列表]]
*[[數學恆等式列表]] ({{lang|en|List of mathematical identities}})
*[[向量微積分恆等式]] ({{lang|en|Vector calculus identities}})

==參考文獻==
{{reflist|2}}

[[Category:向量分析|G]]
[[Category:数学恒等式|G]]