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{{NoteTA|G1=Math}}
在[[數學]]中，'''格林函數'''（'''點源函數'''、'''影響函數'''）是一種用來解有[[初始条件]]或[[邊界條件]]的非齐次[[微分方程]]的函數。在物理学的[[多体理论]]中，格林函数常常指各种{{link-en|关联函数|Correlation function (quantum field theory)}}，有时并不符合数学上函數的定义。 

格林函數的名稱是來自於英國[[數學家]][[喬治·格林]]（George Green），早在1830年代，他是第一個提出這個概念的人。

==定義以及用法==
给定[[流形]]<math>M\,</math>上的[[微分算子]] <math>L\,</math>，其格林函數<math>G(x,s)\, s,x\in M</math>，为以下方程的解 
:<math>L G (x,s) = \delta(x-s) \ \ \ \ \ (1)</math>

其中 <math>\delta\,</math> 為[[狄拉克δ函數]]。此技巧可用來解下列形式的微分方程：

:<math>L u(x) = f(x) \ \ \ \ (2)</math>

若<math>L</math>的 [[核 (代数)|零空间]]非平凡，則格林函數不唯一。不過，實際上因著[[對稱性]]、[[邊界條件]]或其他的因素，可以找到唯一的格林函數。一般來說，格林函數只是一个[[广义函数]]。

格林函數在[[凝聚態物理學]]中常被使用，因為格林函數允許[[擴散方程式]]有較高的精度。在[[量子力學]]中，[[哈密頓算子]]的格林函數和[[狀態密度]]有重要的關係。由於擴散方程式和[[薛定谔方程]]有類似的數學結構，因此兩者對應的格林函數也相當接近。

==動機==

若可找到[[線性算符]] <math>L\,</math> 的格林函數 <math>G\,</math>，則可將 (1) 式兩側同乘<math>f(s)\,</math>，再對變數 <math>s\,</math> 積分，可得：

:<math>\int L G(x,s) f(s) ds = \int \delta(x-s)f(s) ds = f(x).</math>

由公式 (2) 可知上式的等號右側等於 <math>Lu(x)\,</math>，因此：

:<math>Lu(x) = \int L G(x,s) f(s) ds.</math>

由於算符 <math>L\,</math> 為線式，且只對[[變數]] <math>x\,</math> 作用，不對被積分的變數 <math>s\,</math> 作用），所以可以將等號右邊的算符 <math>L\,</math> 移到積分符號以外，可得：

:<math>Lu(x) = L\left(\int G(x,s) f(s) ds\right).</math>

而以下的式子也會成立：

:<math>u(x) = \int G(x,s) f(s) ds . \ \ \ \ (3)</math>

因此，若知道 (1) 式的格林函數，及 (2) 式中的 ''f(x)''，由於 ''L'' 為線性算符，可以用上述的方式得到 ''u(x)''。換句話說， (2) 式的解 ''u(x)'' 可以由 (3) 式的積分得到。若可以找到滿足 (1) 式的格林函數 ''G'' ，就可以求出 ''u(x)''。

並非所有的算符 ''L'' 都存在對應的格林函數。格林函數也可以視為算符 ''L'' 的左[[逆元素]]。撇開要找到特定算符的格林函數的難度不論，(3) 式的[[積分]]也很難求解，因此此方法只能算是提供了一個理論上存在的解法。

格林函數可以用來解非齊次的微-積分方程──多半是[[施图姆-刘维尔问题]]。若 ''G'' 是算符 ''L'' 的格林函數，則方程式 ''Lu'' = ''f'' 的解 ''u'' 為

:<math> u(x) = \int{ f(s) G(x,s) \, ds}. </math>

可以視為 ''f'' 依狄拉克δ函數的基底展開，再將所有投影量[[疊加原理|疊加]]的結果。以上的積分為{{link-en|弗雷德霍姆積分方程|Fredholm_integral_equation}}。

== 非齊次邊界值問題的求解 ==

格林函數的主要用途是用來求解非齊次的[[邊界值問題]]。在近代的[[理論物理]]中，格林函數一般是用來作為[[費曼圖]]中的[[傳播子]]，而「格林函數」一詞也用來表示[[量子力學]]中的{{link-en|关联函数|Correlation function (quantum field theory)}}。

=== 研究框架 ===

令 <math> L </math> 為一個施图姆-刘维尔算子，是一個以以下形式表示的線性微分[[算子]]
:<math> L = {d \over dx}\left[ p(x) {d \over dx} \right] + q(x) </math>
而 ''D'' 是邊界條件算子
:<math> Du = \left\{\begin{matrix} \alpha _1 u'(0) + \beta _1 u(0) \\ \alpha _2 u'(l) + \beta _2 u(l) \end{matrix}\right. </math>

令 <math> f(x) </math> 為在 <math>[0,l]</math> 區間的[[連續函數]]，並假設以下問題
:<math> \begin{matrix}Lu = f \\ Du = 0 \end{matrix} </math> 
有正則特牲；即其齊次問題只存在[[平凡_(數學)|尋常]]解。

=== 定理 ===

則存在唯一解 <math> u(x)\,</math> 滿足以下方程式

:<math> \begin{matrix}Lu = f \\ Du = 0 \end{matrix} </math> 

而其解的計算方式如下

:<math> u(x) = \int_0^\ell f(s) g(x,s) \, ds </math>

而中 <math> g(x,s)\,</math> 即為'''格林函數'''，有以下的特性：
# <math> g(x,s)\,</math> 對 <math> x \,</math> 及 <math> s \,</math> 連續。
# 對所有 <math> x \ne s </math>, <math> L g ( x, s ) = 0 \,</math>.
# 對所有 <math> s \ne 0, l </math>, <math> D g ( x, s ) = 0 \,</math>.
# [[微分]]跳躍：<math> g ' ( s_{ + 0}, s ) - g ' (s_{ - 0}, s ) = 1 / p(s) \,</math>.
# 對稱：<math> g(x, s) = g(s, x) \,</math>.

== 尋找格林函數 ==
=== 特徵向量展開 ===

若一微分算子 ''L'' 有一組完备的特徵向量 <math> \Psi_n(x) </math>（也就是一組函數 <math>\Psi_n(x)</math> 及純量 <math>\lambda_n</math> 使得 <math>L \Psi_n = \lambda_n \Psi_n</math> 成立）則可以由特徵向量及特徵值產生格林函數。

先假設函數 <math> \Psi_n(x) </math> 滿足以下的完備性：

:<math> \delta(x - x') = \sum_{n=0}^\infty \Psi_n(x) \Psi_n(x').</math>

經由證明可得下式：

:<math> G(x, x') = \sum_{n=0}^\infty \frac{\Psi_n(x) \Psi_n(x')}{\lambda_n}.</math>

若在等號兩側加上微分算子 ''L''，則可以證明以上假設的完備性。

有關以上格林函數的進一步研究，及格林函數和特徵向量所組成空間的關係，則為{{link-en|弗雷德霍姆理論|Fredholm theory}}所要探討的內容。

== 拉普拉斯算子的格林函數 ==

先由[[格林定理]]開始：

:<math> \int_V (\phi\nabla^2\psi - \psi\nabla^2\phi) dV = \int_S (\phi\nabla\psi - \psi\nabla\phi)\cdot d\hat\sigma</math>

假設線性算符 ''L'' 為[[拉普拉斯算子]] <math>\nabla^2</math>，而 ''G'' 為拉普拉斯算子的格林函數。則因為格林函數的定義，可得下式：

:<math>L G(x,x') = \nabla^2 G(x,x') = \delta(x-x')</math>

令格林定理中的 <math>\,\!\psi = G</math>，可得：

:<math> \int_V \phi(x') \delta(x - x')\ d^3x' - \int_V G(x,x') \nabla^2\phi(x')\ d^3x' = \int_S \phi(x')\nabla' G(x,x') - G(x,x')\nabla'\phi(x') \cdot d\hat\sigma' \ \ \ \ \ (4)</math>

根據上式，可以解[[拉普拉斯方程]] <math>\nabla^2\phi(x)=0</math> 或 [[泊松方程]] <math>\nabla^2\phi(x)=-4\pi\rho(x)</math>，其邊界條件可以為[[狄利克雷邊界條件]]或是[[諾伊曼邊界條件]]。換句話說，在以下任一個條件成立時，可以解一空間內任一位置的 <math>\,\!\phi(x)</math>：
# 已知 <math>\,\!\phi(x)</math> 在邊界上的值（狄利克雷邊界條件）。
# 已知 <math>\,\!\phi(x)</math> 在邊界上的[[法向導數]]（諾伊曼邊界條件）。

若想解在區域內的 <math>\,\!\phi(x)</math>，由於狄拉克δ函數的特性，(4) 式等號左邊的第一項  
:<math>\int\limits_V {\phi(x')\delta(x-x')\ d^3x'}</math>
可化簡為 <math>\,\!\phi(x)</math> ，再將 (4) 式等號左邊第二項 <math> \nabla^2\phi(x') </math> 用 <math>\,\!\rho'(x')</math> 表示，（若為泊松方程，<math>\,\!\rho'(x)=-4\pi\rho(x)</math>，若為拉普拉斯方程，<math>\,\!\rho'(x)=0</math>），可得：

:<math>\phi(x) = \int_V G(x,x') \rho'(x')\ d^3x' + \int_S \phi(x')\nabla' G(x,x') - G(x,x')\nabla'\phi(x') \cdot d\hat\sigma'  \ \ \ \ \ (5)</math>

上式即為[[調和函數]]（harmonic function）的特性之一：若邊界上的值或法向導數已知，則可以求出區域內每個位置的數值。

在[[靜電學]]中，<math>\,\!\phi(x)</math> 為[[電位]]，<math>\,\!\rho(x)</math> 為[[電荷]][[密度]]，而法向導數 <math>\nabla\phi(x')\cdot d\hat\sigma'</math> 則為[[電場]]在法向的分量。

若目前的邊界條件為狄利克雷邊界條件，可以選擇在 x 或 x' 在邊界時，其值也為 0 的格林函數。若邊界條件為諾伊曼邊界條件，可以選擇在 x 或 x' 在邊界時，其法向導數為 0 的格林函數。因此 (5) 式等號右側的二個積分項有一項為 0 ，只剩下一項需計算。

在[[自由空間]]的情形下（此時可將邊界條件視為：<math> \lim_{\hat x \to \infty} \phi(x) = 0 </math>），拉普拉斯算子的格林函數為：

:<math> G(\hat x, \hat x') = \frac{1}{|\hat x - \hat x'|}</math>

若 <math>\,\!\rho(\hat x)</math> 為[[電荷密度]]，則可得到電荷密度和電位 <math>\,\!\phi(\hat x)</math> 的公式：

:<math>\phi(\hat x) = \int_V \frac{\rho(x')}{|\hat x - \hat x'|} \ d^3x'</math>

== 範例 ==

針對以下微分方程

:<math> \begin{matrix}Lu\end{matrix} = u ' ' + u = f( x ) </math>
:<math> Du =  u(0) = 0 \quad, \quad u\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 </math>

找出格林函數。

'''第 1 步'''

根據定理中，格林函數的特性 2，可得
:<math> g(x,s) = c_1 (s) \cdot \cos x  + c_2 (s) \cdot \sin x </math>

在 ''x < s'' 時因特性 3 可知 
:<math> g(0,s) = c_1 (s) \cdot 1  + c_2 (s) \cdot 0 = 0, \quad c_1 (s) = 0  </math>
（此時不需考慮 <math> g(\frac{\pi}{2},s) = 0 </math> 的式子，因 <math> x \ne \frac{\pi}{2}</math>）在 ''x > s'' 時因特性 3 可知 
:<math> g(\frac{\pi}{2},s) = c_1 (s) \cdot 0  + c_2 (s) \cdot 1 = 0, \quad c_2 (s) = 0 </math>
（此時不需考慮 <math> \quad g(0,s) = 0 </math> 的式子，因 <math> x \ne 0 </math>）整理上述的結果，可得以下的式子。
:<math> g(x,s)=\left\{\begin{matrix} 
a(s) \sin x, \;\; x < s \\
b(s) \cos x, \;\; s < x \end{matrix}\right. </math>   

'''第 2 步'''

依格林函數的特性，找出 ''a''(''s'')和''b''(''s'').

根據特性 1，可得
:<math> a(s) \sin s = b(s) \cos s\quad </math>.
根據特性 4，可得
:<math> b(s) \cdot [ - \sin s ] - a(s) \cdot \cos s = \frac{1}{1} = 1\, .</math>

解上述二式，可以求出 ''a''(''s'')和''b''(''s'')
:<math> a(s) = - \cos s  \quad ; \quad b(s) = - \sin s </math>.

因此格林函數為

:<math> g(x,s)=\left\{\begin{matrix}
-1 \cdot \cos s \cdot \sin x, \;\; x < s \\
-1 \cdot \sin s \cdot \cos x, \;\; s < x 
\end{matrix}\right. </math>
對照此解和格林函數的特性 5，可知此解也滿足特性 5 的要求。

==其他舉例==

* 若流形為 '''R'''，而線性算符 L 為 ''d''/''dx''，則[[单位阶跃函数]] ''H''(''x'' &minus; ''x''<sub>0</sub>) 為 L 在 ''x''<sub>0</sub> 處的格林函數。
* 若流形為第一象限平面 { (''x'', ''y'') : ''x'', ''y'' &ge; 0 } 而線性算符 L 為拉普拉斯算子，並假設在''x'' = 0 處有[[狄利克雷邊界條件]]，而在''y'' = 0 處有[[諾依曼邊界條件]]，則其格林函數為

:<math>G(x, y, x_0, y_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y-y_0)^2}\right]</math>
::<math>+\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y+y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y+y_0)^2}\right].</math>

==參見==
*{{link-en|离散拉普拉斯算子|Discrete Laplace operator|離散格林函數}}，可定義於[[图 (数学)|圖]]以及[[网 (数学)|網]]上。
*[[脈衝響應]]
*[[格林恆等式]]
*[[基爾霍夫積分定理]]

== 參考 ==
{{refbegin}}
* Eyges, Leonard, ''The Classical Electromagnetic Field'', Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9.（其中的第五章介绍如何使用格林函數解靜電場的邊界值問題）
* A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, ''Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
* A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
{{refend}}

== 外部連結 ==
* {{MathWorld |id=GreensFunction |title=Green's Function}}
* {{PlanetMath | urlname=GreensFunctionForDifferentialOperator | title={{Serif|Green's function for differential operator}}}}
* {{planetmath reference | id=6355 | title={{Serif|Green's function}}|urlname=greensfunction}}
* [https://web.archive.org/web/20110905015156/http://www.boulder.nist.gov/div853/greenfn/tutorial.html 格林函數簡介（英文）]

{{Authority control}}
[[Category:微分方程|G]]
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