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[[线性代数]]中，[[内积空间]]中一組[[向量]] <math>v_1,\dots, v_n</math> 的'''格拉姆矩阵'''（{{lang|en|Gramian matrix、Gram matrix 或 Gramian}}）是[[内积]]的[[埃尔米特矩阵]]，其元素由 <math>G_{ij}=\langle v_i,v_j \rangle</math> 给出。

格拉姆矩陣的一个重要应用是驗證一組向量是否[[線性獨立]]：一組向量彼此線性獨立当且仅当其[[#格拉姆行列式|格拉姆行列式]]（格拉姆矩阵的[[行列式]]）不等于零。

格拉姆矩阵以[[丹麦]]数学家{{le|约尔根·佩尔森·格拉姆|Jørgen Pedersen Gram}}命名。

== 例子 ==
最常见地，向量是[[欧几里得空间]]中元素，或 [[L2 空间|''L''<sup>2</sup> 空间]]中函数，比如闭[[区间]] <math>[a, b]</math> 上的连续函数（是 ''L''<sup>&nbsp;2</sup>（[''a'',&nbsp;''b'']）的子集）。

给定区间 <math>[t_0,t_f]</math> 上的[[实数|实]]数值函数 <math>\{\ell_i(\cdot),\,i=1,\dots,n\}</math>，格拉姆矩阵<math>G=[G_{ij}]</math>，由[[内积#例子|函数的标准内积]]给出：

: <math>G_{ij}=\int_{t_0}^{t_f} \ell_i(\tau)\ell_j(\tau)\, d\tau. </math>

给定一个实矩阵 <math>A</math>，矩阵 <math>A^\top A</math> 是 <math>A</math> 的列向量的格拉姆矩阵，而矩阵 <math>AA^\top</math> 是 <math>A</math> 的行向量的格拉姆矩阵。

对一般任何[[体 (数学)|域]]上的[[有限维]][[向量空间]]上的[[双线性形式]] ''B''，我们可对一组向量 <math>v_1,\dots, v_n</math> 定义一个格拉姆矩阵 ''G'' 为 <math>G_{i,j} = B(v_i,v_j) \, </math> 。如果双线性形式 ''B''
对称则该格拉姆矩阵对称。

=== 应用 ===
* 如果向量是[[随机变量]]，所得格拉姆矩阵是'''[[协方差]]'''矩阵。
* 在[[量子化学]]中，一组[[基向量]]的格拉姆矩阵是'''[[重叠矩阵]]'''（Overlap matrix）。
* 在[[控制论]]（或更一般的[[系统理论]]中），'''[[可控制性格拉姆矩阵]]'''、'''[[可观测性格拉姆矩阵]]'''及[[交叉格拉姆矩陣]]确定了线性系统的性质。
* 格拉姆矩阵出现在协方差结构模型中（比如可参见 {{Harvtxt|Jamshidian|Bentler|1993|PP=79–94}}）。
* 在[[有限元方法]]中，格拉姆矩阵出现在从有限维空间逼近函数时；格拉姆矩阵的元素是有限维子空间的基函数的内积。

== 性质 ==
=== 半正定 ===
格拉姆矩阵是[[半正定矩阵|半正定]]的，反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。这组向量一般不是惟一的：任何[[正交基]]的格拉姆矩阵是单位矩阵。

这个命题无穷维类比是{{le|Mercer定理|Mercer's theorem}}）。

=== 基变换 ===
在一个由可逆矩阵 ''P'' 表示的基变换下，格拉姆矩阵是用 ''P'' 做一个[[矩阵合同]]变为 ''P''<sup>T</sup>''GP''。

== 格拉姆行列式 ==
'''格拉姆行列式'''（{{lang|en|Gram determinant 或 Gramian}}）是格拉姆矩阵的行列式：

:<math>G(x_1, \dots, x_n) = \begin{vmatrix}
  \langle x_1,x_1\rangle & \langle x_1,x_2\rangle &\dots & \langle x_1,x_n\rangle \\
  \langle x_2,x_1\rangle & \langle x_2,x_2\rangle &\dots & \langle x_2,x_n\rangle \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  \langle x_n,x_1\rangle & \langle x_n,x_2\rangle &\dots & \langle x_n,x_n\rangle
\end{vmatrix}.</math>
在几何上，格拉姆行列式是这些向量形成的[[平行多面体]]的体积之平方。特别地，这些向量[[线性无关]]当且仅当格拉姆行列式不为零（当且仅当格拉姆矩阵[[非奇异矩阵|非奇异]]）。

== 外部链接 ==
* {{citation
|last=Jamshidian 
|last2= Bentler
|title= Applied Psychological Measurement
|volume=18 
|pages=79 - 94
|year=1993
}}

* {{cite journal
 |title       = The Gramian and K-Volume in N-Space: Some Classical Results in Linear Algebra
 |last        = Barth
 |first       = Nils
 |url         = http://www.jyi.org/volumes/volume2/issue1/articles/barth.html
 |journal     = [[Journal of Young Investigators]]
 |volume      = 2
 |year        = 1999
 |deadurl     = yes
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20081122004517/http://www.jyi.org/volumes/volume2/issue1/articles/barth.html
 |archivedate = 2008年11月22日
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}}

* ''[http://www.owlnet.rice.edu/~fjones/chap8.pdf Volumes of parallelograms] {{Wayback|url=http://www.owlnet.rice.edu/~fjones/chap8.pdf |date=20200113161813 }}'' by Frank Jones

[[Category:矩阵|G]]
[[Category:行列式|G]]
[[Category:系統理論|G]]