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在[[數學]]的[[代數群]]領域中，'''根資料'''（原文為[[法文]]''donnée radicielle''）是一個連通、分裂、可簡約代數群的不變量。對於可簡約代數群，根資料是比[[根系 (数学)|根系]]更精細的不變量，若假設連通性，則它決定了代數群的結構（至多差一個同構）。根資料的定義首見於M. Demazure在SGA III中的闡述，於1970年出版。

==定義==
'''根資料'''是一組資料<math>(X,\Phi,X^\vee, \Phi^\vee)</math>，其中：
* <math>X, X^\vee</math>是有限秩自由[[阿貝爾群]]，其間有一個配對<math>\langle , \rangle : X \times X^{\vee} \rightarrow \mathbf{Z}</math>使兩者互為對偶。
* <math>\Phi</math>是<math>X</math>的有限子集，<math>\Phi^\vee</math>是<math>X^\vee</math>的有限子集，並存在其間的雙射<math>\alpha \mapsto \alpha^{\vee}</math>。
* 對任意<math>\alpha \in \Phi</math>，有<math>\langle \alpha, \alpha^\vee \rangle = 2</math>。
* 對任意<math>\alpha \in \Phi</math>，'''根鏡射'''<math>x \mapsto x - \langle x,\alpha^{\vee} \rangle \alpha </math>導出根資料的自同構（換言之：它將<math>\Phi</math>一一映至<math>\Phi</math>，而在<math>X^\vee</math>上導出的對偶映射則將<math>\Phi^\vee</math>一一映至<math>\Phi^\vee</math>）。
* 類似地，對任意<math>\alpha^\vee \in \Phi^\vee</math>，'''餘根鏡射'''<math>u \mapsto u - \langle \alpha,u \rangle \alpha^\vee </math>導出根資料的自同構。

<math>\Phi</math>的元素稱作該根資料的'''根'''，<math>\Phi^\vee</math>的元素稱為'''餘根'''。

若<math>\Phi</math>不包含任意根的兩倍，則稱此根資料為'''既約'''的。

設<math>X_0 :=(\Phi^\vee)^\perp</math>。若<math>X_0 = \{0\}</math>，稱此根資料為'''半單'''的，

==從根資料到根系==
對於根資料<math>(X,\Phi,X^\vee, \Phi^\vee)</math>，取<math>Q</math>為<math>\Phi</math>在<math>X</math>中生成的子群，並設<math>V := Q \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}</math>；利用對偶性，同樣可定義<math>V^\vee</math>。可證明<math>X_0 \cap Q = \{0\}</math>，<math>X_0 + Q</math>在<math>X</math>中的指數為有限的；因此<math>V^\vee</math>可視為<math>V</math>的對偶空間。可證明<math>(V, \Phi)</math>成為一個[[根系 (数学)|根系]]。

==與約化代數群的關係==
設<math>G</math>是域<math>K</math>上的[[約化群|約化]]代數群，並具有在<math>K</math>上分裂的[[極大環面]]<math>T</math>。定義相應的根資料<math>\Phi(T,B) =(X,\Delta,X_*, \Delta^\vee)</math>為
* <math>X^* := \mathrm{Hom}(T,\mathbb{G}_m)</math>（極大環面的[[特徵標]]）
* <math>X_* := \mathrm{Hom}(\mathbb{G}_m, T)</math>（極大環面的餘特徵標，或者說是其中的[[單參數子群]]）
* <math>\Delta</math>是資料<math>(G,T)</math>的根。
* <math>\Delta^\vee</math>是相應的餘根。

[[代數封閉域]]上的連通、[[約化群|約化]]代數群由其根資料決定。反之，給定任一組根資料，存在與之匹配的連通、[[約化群|約化]]代數群。根資料比[[根系 (数学)|根系]]及[[丹金圖]]精確，因為它不僅刻劃了群的[[李代數]]結構，還刻劃了群的中心。

==對偶性==
給定任一根資料<math>(X, \Psi, X^\vee, \Psi^\vee)</math>，藉著將<math>X, X^\vee</math>對換，將<math>\Psi,\Psi^\vee</math>對換，可以得到新的根資料，稱為其對偶。

若<math>G</math>是代數封閉域<math>K</math>上的連通、[[約化群|約化]]代數群，則根資料的對偶決定了複數域  <math>\mathbb{C}</math>上唯一的連通、[[約化群|約化]]、分裂代數群<sup>L</sup>G，稱為<math>G</math>的[[郎蘭茲對偶群]]。

==文獻==
*M. Demazure, Exp. XXI in [http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga/3-3/index.html SGA 3 vol 3] {{Wayback|url=http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga/3-3/index.html |date=20011126072304 }}
*T. A. Springer, [http://www.ams.org/online_bks/pspum331/pspum331-ptI-1.pdf ''Reductive groups''] {{Wayback|url=http://www.ams.org/online_bks/pspum331/pspum331-ptI-1.pdf |date=20061011070352 }}，in [http://www.ams.org/online_bks/pspum331/ ''Automorphic forms, representations, and L-functions'' vol 1] {{Wayback|url=http://www.ams.org/online_bks/pspum331/ |date=20061206143227 }} ISBN 0-8218-3347-2 

[[Category:代數群|G]]
[[Category:表示论|G]]