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'''根值审敛法'''（Root test）是判别正项[[级数]]敛散性的一种方法，又叫做'''[[柯西]]判别法'''。方法是分析第<math>n</math>项的绝对值的<math>n</math>次方根的[[上极限]]与1的大小关系。
{{无穷级数}}

==定理==
[[File:Decision diagram for the root test (Chinese).png|thumb|根值审敛法判断流程表]]

设<math> \sum_{n=1}^\infty a_n </math>是要判断审敛性的级数，令

:<math>C = \overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}\sqrt[n]{\left\vert a_n \right\vert} = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\left\vert a_n \right\vert},</math>

*当<math>\,C<1\,</math>时级数[[绝对收敛]]（当然同时也收敛）
*当<math>\,C>1\,</math>或<math>\,C=\infty\,</math>时级数发散
*当<math>\,C=1\,</math> 时级数可能收敛也可能发散<ref>{{cite book |author1=B.A.卓里奇 |title=数学分析（第一卷） |url=https://archive.org/details/isbn_9787040183023 |publisher=高等教育出版社 |isbn=978-7-04-018302-3 |page=[https://archive.org/details/isbn_9787040183023/page/86 86] |edition=第四版}}</ref>。
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!证明：
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*当<math>\,C<1\,</math>时，取<math>\,q\in(C,1)</math>，由上极限的定义，<math>\left\{\sqrt[n]{\left\vert a_n \right\vert}\right\}\,</math>应当有收敛于<math>\,C\,</math>的子列<math>\,\left\{\sqrt[n_k]{\left\vert a_{n_k} \right\vert}\right\}\,</math>，由极限的[[極限 (數列)#數列極限的性質|保序性]]，<math>\,\exists N\in\mathbb{N}</math>，使<math>\,n>N\,</math>时，<math>\sqrt[n]{\left\vert a_{n} \right\vert}<q\,</math>（否则，总可以取出极限不比<math>\,q\,</math>小的子列，和<math>\,C\,</math>的定义矛盾）。因而，<math>n>N\,</math>时，有<math>\,\left\vert a_n \right\vert<q^n\,</math>，又因为<math>\sum_{n=1}^\infty q^n = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n q^n = \lim_{n\rightarrow\infty}q\frac{1-q^n}{1-q} = \frac{q}{1-q}\,</math>是收敛的，由[[比较审敛法]]，<math>\,\sum_{n=1}^\infty \left\vert a_n \right\vert\,</math>收敛，即<math>\,\sum_{n=1}^\infty a_n\,</math>绝对收敛。
*当<math>\,C>1\,</math>或<math>\,C=\infty\,</math>时，取子列<math>\,\left\{\sqrt[n_k]{\left\vert a_{n_k} \right\vert}\right\}\,</math>，从而<math>\,\exists K\in\mathbb{N}\,</math>，使得<math>\,k>K\,</math>时，<math>\,\left\vert a_{n_k}\right\vert>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>1</math>。这意味着<math>\,\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\neq 0\,</math>，根据[[审敛法#通项极限判别法|通项极限判别法]]，级数<math>\,\sum_{n=1}^\infty a_n\,</math>是发散的。
*例：<math>\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}\sqrt[n]{\frac{1}{n}}=\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}\sqrt[n]{\frac{1}{n^2}}=1\,</math>，但<math>\,\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\,</math>发散，而<math>\,\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\,</math>。
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==参见==
*[[比值审敛法]]
*[[比较审敛法]]
{{Math-stub}}
[[Category:级数]]
[[Category:审敛法]]

[[pl:Kryteria zbieżności szeregów#Kryterium Cauchy'ego]]