根值审敛法

根值审敛法（Root test）是判别正项级数敛散性的一种方法，又叫做柯西判别法。方法是分析第 $n$ 项的绝对值的 $n$ 次方根的上极限与1的大小关系。 Template:ScienceNavigation

定理

设 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 是要判断审敛性的级数，令

C = \overline{\lim_{n \to \infty}} \sqrt[n]{| a_{n} |} = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| a_{n} |},

证明：

当 $C < 1$ 时，取 $q \in (C, 1)$ ，由上极限的定义， ${\sqrt[n]{| a_{n} |}}$ 应当有收敛于 $C$ 的子列 ${\sqrt[n_{k}]{| a_{n_{k}} |}}$ ，由极限的保序性， $\exists N \in ℕ$ ，使 $n > N$ 时， $\sqrt[n]{| a_{n} |} < q$ （否则，总可以取出极限不比 $q$ 小的子列，和 $C$ 的定义矛盾）。因而， $n > N$ 时，有 $| a_{n} | < q^{n}$ ，又因为 $\sum_{n = 1}^{\infty} q^{n} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} q^{n} = \lim_{n \to \infty} q \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = \frac{q}{1 - q}$ 是收敛的，由比较审敛法， $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ 收敛，即 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛。
当 $C > 1$ 或 $C = \infty$ 时，取子列 ${\sqrt[n_{k}]{| a_{n_{k}} |}}$ ，从而 $\exists K \in ℕ$ ，使得 $k > K$ 时， $| a_{n_{k}} | > \sqrt[n_{k}]{a_{n_{k}}} > 1$ 。这意味着 $\lim_{n \to \infty} a_{n} \neq 0$ ，根据通项极限判别法，级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 是发散的。
例： $\overline{\lim_{n \to \infty}} \sqrt[n]{\frac{1}{n}} = \overline{\lim_{n \to \infty}} \sqrt[n]{\frac{1}{n^{2}}} = 1$ ，但 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，而 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}$ 。