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在[[数值分析]]这个数学分支中，'''样条插值'''是使用一种名為[[样条]]的特殊[[分段]][[多项式]]进行插值的形式。由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的[[龙格现象]]，所以样条插值得到了流行。

==样条插值==
使用多项式插值，对给定数据集进行插值的''n''阶多项式就被给定数据点所唯一地定义出来。但是，对同样的数据进行插值的''n''阶样条并不是唯一的，为了构建一个唯一的样条插值式它还必须满足另外''n''-1个[[自由度]]。

==线性样条插值==
线性样条插值是最简单的样条插值。数据点使用[[直线]]进行连接，结果样条是一个[[多边形]]。

从代数的角度来看，每个''S''<sub>''i'' </sub>都是一个如下
:<math>S_i(x) = y_i + \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}(x-x_i)</math>
的[[线性函数]]。
样条在每个数据点都必须连续，即
:<math>S_i(x_{i+1}) = S_{i+1}(x_{i+1}) \qquad \mbox{ , } i=1,\ldots n -1</math>

我们很容易得到
:<math>S_{i-1}(x_i) = y_{i-1} + \frac{y_{i}-y_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}(x-x_{i-1}) = y_i</math>
:<math>S_{i}(x_i) = y_i + \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}(x-x_i) = y_i</math>
所以以上论述成立。

==二次样条插值==
二次样条插值可以构建为

:<math>
S_i(x) = y_i + z_i(x-x_i) + \frac{z_{i+1}-z_i}{2(x_{i+1}-x_i)}(x-x_i)^2
</math>

通过选择<math>z_0</math>，然后用[[遞迴關係式|递推关系]]就可以得到[[系数]]：

:<math>
z_{i+1} = -z_i + 2 \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}
</math>

==三次样条插值==
对于<math>n+1</math>给定点的数据集<math>\{x_i\}</math>，我们可以用<math>n</math>段三次[[多项式]]在数据点之间构建一个三次样条。如果
:<math>S(x)=\left\{\begin{matrix} S_0(x),\ x\in[x_0,x_1] \\ S_1(x),\ x\in[x_1,x_2]\\ \cdots \\  S_{n-1}(x),\ x\in[x_{n-1},x_n]\end{matrix}\right.</math>
表示对函数<math>f</math>进行插值的样条函数，那么需要：
* 插值特性，<math>S(x_i)=f(x_i)</math>
* 样条相互连接，<math>S_{i-1}(x_i) = S_i(x_i), i=1,\ldots,n-1</math>
* 两次连续可导，<math>S'_{i-1}(x_i) = S'_i(x_i)</math> 以及 <math>S''_{i-1}(x_i) = S''_i(x_i), i=1,\ldots,n-1</math>.

由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状，所以对于组成<math>S</math>的<math>n</math>个三次多项式来说，这就意味着需要<math>4n</math>个条件才能确定这些多项式。但是，插值特性只给出了<math>n+1</math>个条件，内部数据点给出<math>n+1-2=n-1</math>个条件，总计是<math>4n-2</math>个条件。我们还需要另外两个条件，根据不同的因素我们可以使用不同的条件。

其中一项选择条件可以得到给定<math>u</math>与<math>v</math>的''钳位''三次样条，
:<math> S'(x_0) = u \,\!</math>
:<math> S'(x_k) = v \,\!</math>

另外，我们可以设

:<math>S''(x_0) = S''(x_n) = 0 \,\!</math>.
这样就得到''自然''三次样条。自然三次样条几乎等同于[[样条设备]]生成的曲线。

在这些所有的二次连续可导函数中，钳位与自然三次样条可以得到相对于待插值函数''f''的最小震荡。

如果选择另外一些条件，
:<math> S(x_0) = S(x_n) \,\!</math>
:<math> S'(x_0) = S'(x_n) \,\!</math>
:<math> S''(x_0) = S''(x_n) \,\!</math>
可以得到''周期性''的三次样条。

如果选择，
:<math> S(x_0) = S(x_n) \,\!</math>
:<math> S'(x_0) = S'(x_n) \,\!</math>
:<math> S''(x_0) = f'(x_0),\quad S''(x_n)=f'(x_n) \,\!</math>
可以得到''complete''三次样条。

===三次样条的最小性===
三次样条有另外一个非常重要的解释，实际上它是在[[索伯列夫空间]]<math>H^2([a; b])</math>最小化泛函
:<math>J(f)=\int_a^b |f''(x)|^2 dx</math>
的函数。

泛函<math>J</math>包含对于函数<math>f(x)</math>全部[[曲率]]<math>\left|\frac{f''(x)}{(1+f'(x)^2)^{\frac{3}{2}}}\right|</math>的近似，样条是<math>f(x)</math>最小曲率的近似。

由于弹性条的总体能量与曲率成比例，所以样条是受到<math>n</math>个点约束的弹性条的最小能量形状。样条也是基于弹性条设计的工具。

===使用自然三次样条的插值===
它可以定义为

:<math>
S_i(x) = \frac{z_{i+1} (x-x_i)^3 + z_i (x_{i+1}-x)^3}{6h_i}
       + \left(\frac{y_{i+1}}{h_i} - \frac{h_i}{6} z_{i+1}\right)(x-x_i)
       + \left(\frac{y_{i}}{h_i} - \frac{h_i}{6} z_i\right)(x_{i+1}-x)
</math>

以及

:<math>h_i = x_{i+1} - x_i \,\!</math>.

通过解下面的方程可以得到它的系数。

:<math>
\left\{\begin{matrix}
       z_0 = 0 \\

       h_{i-1}            z_{i-1}
       + 2(h_{i-1} + h_i) z_i
       + h_i              z_{i+1}

 = 6 \left(
           \frac{y_{i+1}-y_i}{h_i} -
           \frac{y_i-y_{i-1}}{h_{i-1}}
           \right) \\

       z_n = 0
\end{matrix}\right.
</math>

==示例==

===线性样条插值===
假设要为带有节点
:<math> (x_0,f(x_0)) = (x_0,y_0) = \left(-1,\ e^{-1}\right) \,\! </math>
:<math> (x_1,f(x_1)) = (x_1,y_1) = \left(-\frac{1}{2},\ e^{-\frac{1}{4}}\right) \,\! </math>
:<math> (x_2,f(x_2)) = (x_2,y_2) = \left(0,\ 1\right) \,\! </math>
:<math> (x_3,f(x_3)) = (x_3,y_3) = \left(\frac{1}{2},\ e^{-\frac{1}{4}}\right) \,\! </math>
:<math> (x_4,f(x_4)) = (x_4,y_4) = \left(1,\ e^{-1}\right) \,\! </math>
的函数
:<math>f(x) = e^{-x^2} </math>
找一个线性样条。直接代入样条公式，我们得到如下样条：
:<math>
S(x) = \left\{\begin{matrix}
e^{-1} + 2(e^{-\frac{1}{4}} - e^{-1})(x+1) &  x \in [-1, -\frac{1}{2}] \\
e^{-\frac{1}{4}} + 2(1-e^{-\frac{1}{4}})(x+\frac{1}{2})  &  x \in [-\frac{1}{2},0] \\
1 + 2(e^{-\frac{1}{4}}-1)x &  x \in [0,\frac{1}{2}] \\
e^{-\frac{1}{4}} + 2(e^{-1} - e^{-\frac{1}{4}})(x-\frac{1}{2}) &  x \in [\frac{1}{2},1] \\
\end{matrix}\right.
</math>

样条函数（蓝线）以及所近似的函数（红点）如下图所示：

:[[File:Linearspline.png| ]]

===二次样条插值===
下图是一个''k''=4的样条函数（蓝线）与所近似的函数（红线）的例子：

:[[File:Quadraticspline_jaredwf.png| ]]

==参见==
*[[三次埃尔米特样条]]
*[[NURBS]]

[[Category:样条]]
[[Category:插值论]]
[[Category:数学近似]]