查看“︁样本方差”︁的源代码

{{unreferenced|time=2017-08-26T02:31:44+00:00}} {{NoteTA
|G1 = Math
|T= zh-cn: 样本方差; zh-tw: 樣本變異數
|1 = zh-cn:方差; zh-tw:變異數;
|2= zh-cn:无偏; zh-tw: 不偏
|3= zh-cn:概率; zh-tw:機率
|4= zh-cn: 贝塞尔修正; zh-tw:自由度修正
|5= zh-cn:总体; zh-tw:母體
|6= zh-cn:变量;zh-hk:變量; zh-tw: 變數
}}
'''样本方差'''是依据所给[[样本]]对[[随机变量]]的[[方差]]做出的一个[[估计]]。

== 定义 ==
设 <math>X_1,\cdots,X_n</math> 是随机变量 <math>X</math> 的 <math>n</math> 个样本，则样本方差定义为：

:<math>s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2</math>

其中 <math>\bar X</math> 为[[样本均值]]。

根据该定义，可以得出：

:<math>s^2 = \frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}X_i^2-n\bar X^2).</math>

== 无偏性 ==
若随机变量 <math>X</math> 的[[期望值|期望]]为 <math>\mu</math>、[[方差]]为 <math>\sigma^2</math>，则样本方差的期望满足：

:<math>\operatorname{E}(s^2) = \frac{1}{n-1}\big[ \sum_{i=1}^{n} \operatorname{E}(X_i^2) - n\operatorname{E}(\bar X^2) \big]
= \frac{1}{n-1}\big[ \sum_{i=1}^{n} (\sigma^2 + \mu^2) - n(\frac{\sigma^2}{n} + \mu^2) \big]
= \sigma^2</math>

即样本方差是[[总体]]方差的[[无偏估计]]。

样本方差的定义中，分母的值为<math>n-1</math>而非<math>n</math>，一个重要原因即是这样定义的样本方差是总体方差的无偏估计。这被称为贝塞尔修正。

== 样本方差的分布 ==
样本方差作为随机变量的（[[可测]]）[[函数]]，其本身也是一个随机变量。在某些特殊情况下样本方差的分布是已知的。例如，若<math>X_1,\cdots,X_n</math>是独立同分布的正态随机变量，均值和方差为<math>\mu</math>和<math>\sigma^2</math>，则<math>(n-1)s^2/\sigma^2</math>服从自由度为<math>n-1</math>的[[卡方分布]]。

{{Statistics-stub}}

[[Category:統計理論]]
[[Category:估計理論]]