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{{微積分學}}
'''柯西-尤拉方程'''是形式如 <math>x^2 y'' + bxy' + cy = 0</math>（其中<math>b,c</math>是常數）的二階變係數[[常微分方程]]。

==解法==
觀察可知<math>y=x^r</math>是一個特定解：
: <math>0 = x^2 y'' + bxy' + cy</math>
: <math>= x^2 r(r-1) x^{r-2} + b x r x^{r-1} + c x^r</math>
: <math>= (r^2 + (b-1)r + c)x^r</math>

因為<math>x^r = 0</math>[[若且唯若]]<math>x=0</math>，所以要考慮[[二次方程]]<math>r^2 + (b-1)r + c = 0</math>的解。

: <math>r={1\over 2}\left(1-b \pm\sqrt{b^2-2b-4c+1}\right).</math>

設<math>p,q</math>為二次方程的解。若<math>p,q</math>不相等，<math>y</math>的一般解則為<math>y= A x^p + B x^q</math>。

若<math>p=q=(1-b)/2</math> ，其中一個特定解為<math>x^r \ln{x}</math>：

: <math>x^2 (x^r \ln{x})'' + bx (x^r \ln{x})' + c x^r \ln{x}</math>

: <math>= x^r ( \ln{x} (r^2 + (b-1)r + c) + 2r + b - 1)</math>

代入<math>r=(1-b)/2</math>便知右方括號內等於0。因此核實<math>x^r \ln{x}</math>是一個特定解。

於是，便有兩個線性獨立解，繼而可得：<math>y=Ax^r + B x^r \ln{x}</math>。

==参见==
*[[里卡蒂方程]]
*[[伯努利微分方程]]
*[[克莱罗方程]]
*[[全微分方程]]
*[[线性微分方程]]

[[Category:奥古斯丁-路易·柯西]]
[[Category:微分方程]]