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{{微積分學}}

在数学分析领域中、 '''柯西稠密测试'''（得名于法国数学家[[奧古斯丁·路易·柯西|柯西]]），是一个应对无穷级数的[[审敛法|收敛测试]]。

一般而言，一个单调递减、非负的实数序列 <math>f(n)</math>所对应的级数<math>\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n)</math>收敛当且仅当其“凝结”级数（英语：Condensed Series）<math>\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n})</math> 收敛。 且此极限（如果存在）满足以下不等式：
:<math> 0 \ \leq\ \sum_{n=1}^{\infty} f(n)\ \leq\ \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n})\ \leq\ 2\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\ \leq\ +\infty</math>
换言之，“凝结”级数的极限在原级数极限和它的二倍之间。

== 推导 ==

要证明该方法的正确性，我们需要证明上面的不等式。

:<math> \sum_{n=1}^{\infty} f(n)\ \leq\ \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n})\ </math>
:<math> \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n})\ \leq\ 2\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\ </math>

第一个不等式可以通过替换原级数里的一些项得到。注意这里需要用到原级数的性质（单调递减）。

:<math>\begin{array}{rcccccccl}
\sum\limits_{n=1}^{\infty} f(n) & = &f(1) & + & f(2) + f(3) & + & f(4) + f(5) + f(6) + f(7) & + & \cdots \\
 & = &f(1) & + & \Big(f(2) + f(3)\Big) & + & \Big(f(4) + f(5) + f(6) + f(7)\Big) & + &\cdots \\
 & \leq &f(1) & + & \Big(f(2) + f(2)\Big) & + & \Big(f(4) + f(4) + f(4) + f(4)\Big) & + &\cdots \\
 & = &f(1) & + & 2 f(2) & + & 4 f(4)& + &\cdots = \sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n} f(2^{n})
\end{array}</math>

相似地，第二个不等式也需要我们重新组合和替换。


:<math>\begin{array}{rcl}
\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n}) & = & f(1) + \Big(f(2) + f(2)\Big) + \Big(f(4) + f(4) + f(4) +f(4)\Big) + \cdots \\
& = & \Big(f(1) + f(2)\Big) + \Big(f(2) + f(4) + f(4) + f(4)\Big) + \cdots \\
 & \leq & \Big(f(1) + f(1)\Big) + \Big(f(2) + f(2) + f(3) + f(3)\Big) + \cdots = 2 \sum\limits_{n=1}^{\infty} f(n)
\end{array}</math>


: <br><!-- 圖片未翻譯-->
[[File:Visualized estimate for the Cauchy condensation test.png|thumb|center|811px|<!--Visualization of the above argument. Partial sums of the series <math>\textstyle\sum f(n)</math>, <math>\sum 2^{n}f(2^{n})</math>, and <math>2 \sum f(n)</math> are shown overlaid from left to right.-->]]

==註釋 ==
{{Reflist}}
* Bonar, Khoury (2006). ''Real Infinite Series''. Mathematical Association of America. {{ISBN|0-88385-745-6}}.

==外部連結 ==
* [http://www.mathcs.org/analysis/reals/numser/t_conden.html Cauchy condensation test proof] {{Wayback|url=http://www.mathcs.org/analysis/reals/numser/t_conden.html |date=20180211150754 }}

[[Category:审敛法]]