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在[[数学]]和[[拓扑学]]中，以法国数学家[[柯西]]命名的'''柯西判据'''是判断[[度量空间]]中[[数列]]收敛性的一个依据。

满足这个判据的数列称为[[柯西序列]]。

当空间是[[完备空间]]的时候，满足柯西判据等价于数列收敛。

== 定理的陈述 ==
{{seealso|柯西序列}}
若度量空间中的一个数列满足柯西判据：

<math> \lim_{n \to \infty}x_n \sup_{p,q>n}d(s_p,s_q)=0</math>

那么这个数列就是一个柯西数列。

柯西判据的推论：

1.在度量空间中，[[收敛数列]]一定是柯西序列。

2.在完备的度量空间中，所有的柯西序列都是收敛的。

== 特殊度量空间 ==
这个等价关系在<math>\R</math>（距离定义为[[绝对值]]时），<math>\Complex</math>中（距离定义为模），<math>\R^n</math>和<math>\Complex^n</math>中（对任意一个模）成立。在[[巴拿赫空间]]中，所有的子空间都是完备的度量空间，等价关系对任意一个模成立。
在<math>\Q</math>-[[赋范向量空间]]<math>\Q^n</math>中，若距离定义为几何距离，则上面的推论中只有第一个成立，因为这不是完备空间。不过这时所有的柯西序列仍然收敛，只是序列极限属于<math>\R^n</math>而不是<math>\Q^n</math>。

== 证明 ==
* 推论1：
如果数列<math>(s_n)</math>收敛于<math>s</math>,那么对所有 <math>\epsilon > 0</math>，存在一个整数<math>m</math>，使对所有 <math>n > m</math>都有:<math>d(s_n, s)  < r, </math>

那么根据距离的三角不等性，可得:

<math>d(s_p,s_q) \leqslant d(s_p,s) + d(s_q,s) < 2 \ \epsilon</math>

对所有的 <math>p, \ q > m</math>都成立，因此这是一个柯西序列。

* 推论2：
这是由完备空间的定义推出的。

== 参考条目 ==
* [[柯西序列]]
* [[完备空间]]

[[Category:奥古斯丁-路易·柯西]]
[[Category:数学小条目]]