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在[[数学]]上，以[[法国]]数学家[[奧古斯丁·路易·柯西]]命名的'''柯西乘积'''，是指两组[[数列]]<math>a_n, b_n</math>的离散[[卷积]]。

:<math>c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.</math>

该数列乘积被认为是[[自然数]]<math>R[\N]</math>的半[[群环]]的元素。

==级数==
一个特别重要的例子是考虑两个严格的形式[[级数]]（不需要[[收敛]]）<math>a_n, b_n</math>：

:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n,\qquad \sum_{n=0}^\infty b_n,</math>

一般地，对于[[实数]]和[[复数 (数学)|复数]]，'''柯西乘积'''定义为如下的离散[[卷积]]形式：

:<math>\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n ,</math>
::这里 <math>c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k},\, n = 0, 1, 2, \ldots</math>

“形式”是指我们对级数运算时不考虑是否收敛，参见[[形式幂级数]]。

人们希望，通过对两组级数做实际卷积的有限和的类推，得到[[无穷级数]]

:<math>\sum_{n=0}^\infty c_n</math>

等于如下乘积：

:<math>\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)</math>

就如同两个数列的和是有限范围一样做乘法。

在充分[[良态]]的情况下，上述式子成立。而更重要的一点，尽管这两个无穷级数可能不收敛，它们的柯西乘积仍可能存在。

==示例==
===有穷级数===
对于<math>i>n</math>、<math>i>m</math>，有<math>x_i = 0</math>，<math>y_i = 0</math> 即为有穷级数，则<math> \sum x</math>和 <math>\sum y</math> 柯西乘积可以展开为<math>(x_0+\cdots + x_n)(y_0+\cdots+y_m)</math>，因此可以直接计算乘积。
===无穷级数===
* 对某些<math>a,b\in\mathbb{R}</math>，构造<math>x_n = a^n/n!\,</math>和<math>y_n = b^n/n!\,</math>，由定义和[[二项式定理|二项式]]展开可知：
:<math> C(x,y)(n) = \sum_{i=0}^n\frac{a^i}{i!}\frac{b^{n-i}}{(n-i)!} = \frac{(a+b)^n}{n!}</math>
形式上， <math>\exp(a) = \sum x</math>，<math>\exp(b) = \sum y</math>，我们已表明<math>\exp(a+b) = \sum C(x,y)</math>。由于该两个[[绝对收敛]]数列的柯西乘积等于两个数列极限的乘积，（见[[柯西乘积#收敛和梅尔滕斯定理|下面]]的证明），因此我们就可证明这个表达式对于 <math>a,b\in\mathbb{R}</math>有<math>\exp(a+b) = \exp(a)\exp(b)</math> 

* 另外一个例子，令<math> x(n) = 1</math>（<math>n\in\mathbb{N}</math>），则 <math>C(x,x)(n) = n+1</math>对所有<math>n\in\mathbb{N}</math>成立，则柯西乘积 <math>\sum C(x,x) = (1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots)</math> ，该乘积不收敛。

==收敛和梅尔滕斯定理==
令''x'', ''y''为实数数列，[[弗兰兹·梅尔滕斯]]（Franz Mertens）提出，如果级数<math>\sum y</math>[[收敛]]到''Y''，且级数<math>\sum x</math>[[绝对收敛]]到''X''，则他们的柯西乘积 <math> \sum C(x,y)</math>收敛到''XY''。

对于两个级数为[[条件收敛]]时，结论未必成立。如下反例所示：

===例子===
考虑下述两[[交错级数]]：

:<math>a_n = b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\,,</math>

它们都是收敛的（其绝对值构成的级数因[[比较审敛法]]和[[调和级数|调和级数的发散性]]而发散）。其柯西乘积的项由下式给出：

:<math>c_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \cdot \frac{ (-1)^{n-k} }{ \sqrt{n-k+1} } = (-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{1}{ \sqrt{(k+1)(n-k+1)} }</math>

其中整数 {{math|''n'' ≥ 0}}。因为对于所有 {{math|''k'' ∈ {0, 1, ..., ''n''}}} 我们都有不等式 {{math|''k'' + 1 ≤ ''n'' + 1}} 及 {{math|''n'' – ''k'' + 1 ≤ ''n'' + 1}}，故对分母中的根式有 {{math|{{sqrt|(''k'' + 1)(''n'' − ''k'' + 1)}} ≤ ''n'' +1}}。因此，由于共有 {{math|''n'' + 1}} 个被加项，故对于所有的整数 {{math|''n'' ≥ 0}}有

:<math>|c_n| \ge \sum_{k=0}^n \frac{1}{n+1} = 1</math>

因此，{{math|''c<sub>n</sub>''}} 在 {{math|''n'' → ∞}} 时并不趋于 0，级数 {{math|∑ ''c<sub>n</sub>''}} 发散（[[项测试]]）。

===梅尔滕斯定理的证明===
令<math>X_n = \sum_{i=0}^n x_i</math>，<math>Y_n = \sum_{i=0}^n y_i</math> ，<math>C_n = \sum_{i=0}^n C(x,y)(i)</math>，<math>C_n = \sum_{i=0}^n \sum_{k=0}^i x_k y_{i-k} = \sum_{i=0}^n Y_i x_{n-i}</math> (重排后)。

则<math>C_n = \sum_{i=0}^n(Y_i-Y)x_{n-i}+YX_n</math>，对任意给定的 ε > 0，因为<math>\sum x</math>绝对收敛，<math>\sum y</math>收敛，因此存在一个整数''N''，对于任意''n'' ≥ ''N'' <math>|Y_n-Y|<\frac{\varepsilon/4}{\sum_{n=0}^\infty |x_n|+1}</math> ，和存在一个正整数''M''，对于所有 <math>n\geq M</math> ，有<math>|x_{n-N}|<\frac{\varepsilon/4}{N\sup |Y_n-Y|+1} </math>（由级数絕對收敛，则式子收敛到0），同样的，存在一个整数''L'' ，如果有 <math>n\geq L</math>，则 <math>|X_n-X|<\frac{\varepsilon/2}{|Y|+1}</math>。

因此，对于所有''n''大于''N'', ''M'', ''L''，有：
:<math>|C_n - XY| = |\sum_{i=0}^n (Y_i-Y)x_{n-i}+Y(X_n-X)| \leq \sum_{i=0}^{N-1} |Y_i-Y||x_{n-i}|+\sum_{i=N}^n |Y_i-Y||x_{n-i}|+|Y||X_n-X|<\varepsilon </math>

根据[[收敛]]的定义，即：<math>\sum C(x,y)\to XY.</math>

==切萨罗定理==
如果''x''，''y''是实数数列，且<math>\sum x\to A</math>，<math>\sum y\to B</math>，则有：
: <math>\frac{1}{n}\left(\sum_{i=0}^n C(x,y)_n\right)\to AB.</math>

==推广==
所有上述证明也可推广到<math>\mathbb{C}</math>[[复数 (数学)|复数]]级数。柯西乘积可以定义在乘法为[[内积]]的[[欧式空间]]<math>\mathbb{R}^n</math>上。这种情况下，如果两组数列绝对收敛，则柯西乘积绝对收敛到数列极限的内积
。
==与卷积函数的关系==
我们可以定义柯西乘积为双向无限数列，视为<math>\Z</math>上的函数。这种情况并非总能定义柯西乘积。例如：常数级数1和其本身的柯西乘积，<math>(\dots,1,\dots)</math>。

有的有一些配对，比如任何级数与一个有限级数的乘积，<math>\ell^1 \times \ell^\infty</math>的乘积，这与[[Lp空间|L<sup>p</sup>空间]]有关。

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