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{{NoteTA|G1=Math}}
{{中值定理}}

'''柯西中值定理'''，也叫拓展中值定理，是[[拉格朗日中值定理]]的推广，是[[微分学]]的基本定理之一。

==内容==

如果[[函数]]<math>f(x)</math>及<math>g(x)</math>满足
#在闭[[区间]]<math>[a,b]</math>上连续；
#在开区间<math>(a,b)</math>内可微分；
#对任意<math>x\in (a,b),g'(x)\neq 0</math>；
那么在<math>(a,b)</math>内至少有一点<math>\xi (a<\xi<b)</math>，使等式

:<math>\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}</math>
或

[[File:Cauchy.svg|thumb|306px|柯西定理的几何意义]]

:<math>(f(b)-f(a))g\,'(\xi)=(g(b)-g(a))f\,'(\xi)\,</math>

成立。

其几何意义为：用[[参数方程]]表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的[[弦 (几何)|弦]]。

但柯西定理不能表明在任何情况下不同的两点(''f''(''a''),''g''(''a''))和(''f''(''b''),''g''(''b''))都存在切线，因为可能存在一些''c''值使{{nowrap|''f''′(''c'') {{=}} ''g''′(''c'') {{=}} 0}},换句话说取某个值时位于曲线的驻点;在这些点处，曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

:<math>t\mapsto(t^3,1-t^2),</math>

在区间[−1,1]上，曲线由(−1,0)到(1,0),却并无一个水平切线;然而它有一个驻点(实际上是一个[[尖点]])在{{nowrap|''t'' {{=}} 0}}时。

柯西中值定理可以用来证明[[洛必达法则]]. 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当{{nowrap|''g''(''t'') {{=}} ''t''}}时的特殊情况。

==证明==
首先，如果<math>g(a)=g(b)</math>，由[[罗尔定理]]，存在一点<math>x_0\in (a,b)</math>使得<math>g'(x_0)=0</math>，与条件3矛盾。所以<math>g(a)\neq g(b)</math>。

令<math> h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g(x) </math>。那么 
# <math>h</math>在<math>[a,b]</math>上连续，
# <math>h</math>在<math>(a,b)</math>上可导，
# <math> h(a)=h(b)= \frac{f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)} </math>。由罗尔定理，存在一点<math> c\in (a,b) </math>使得<math> h'(c)=0 </math>。即<math> f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g'(c) </math>。命题得证。

==参见==
*[[拉格朗日中值定理]]
*[[微分中值定理]]
*[[罗尔定理]]

[[Category:数学定理|K]]
[[Category:微分学]]