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在[[数学]]中， '''柯尼格斯函数'''是用于[[複分析|复分析]]和[[动力系统|动力系统]]中的一种函数。法国数学家[[加布里埃尔·泽维尔·保罗·科尼格斯]]于1884年引入了此函数，该函数作为[[复数 (数学)|复数]]中[[单位圆盘]]内的[[单叶函数]]的[[扩张_(度量空间)|扩张]]，或单位圆盘内的映射组成的[[半群]]的扩张，给出一个规范表示。

==柯尼希斯函数的存在性与唯一性==
令''D''为复数中的[[单位圆盘]]，设''D''上有[[全纯函数]]<math>f:D\to D</math>，{{mvar|f}}固定点0，其中{{mvar|f}}不等于0且{{mvar|f}}不是''D''的自同构（即由SU(1,1)中矩阵定义的[[莫比乌斯变换]]）。

由{{le|丹乔-沃尔夫定理|Denjoy–Wolff theorem}}可知，{{mvar|f}}  使得每个由|''z''|<{{mvar|r}}表记的圆盘保持不变，且{{mvar|f}}的迭代一致紧密收敛到0：事实上，在0 < {{mvar|r}}  < 1范围内，对于|''z'' | ≤ ''r''且''M''(''r'' ) < 1，有：
:<math> |f(z)|\le M(r) |z|</math>。
此外，{{mvar|f}} '(0) = {{mvar|λ}}，其中0 < |{{mvar|λ}}| < 1.

{{harvtxt|Koenigs|1884}}证明了，在''D''上可以定义证明唯一的全纯函数''h''，称为'''柯尼希斯函数'''，使得{{mvar|h}}(0) = 0, {{mvar|h}} '(0)=1，同时满足{{le|施罗德方程|Schröder's equation}}：
:<math> h(f(z))= f^\prime(0) h(z) ~.</math>

函数''h'' 是一系列归一化迭代 <math>g_n(z)=  \lambda^{-n} f^n(z)</math> 的[[紧空间]]上的[[一致收敛]]极限，.

此外，如{{mvar|f}}为单价，则{{mvar|h}}同理<ref>{{harvnb|Carleson|Gamelin|1993|pp=28–32}}</ref><ref>{{harvnb|Shapiro|1993|pp=90–93}}</ref>。

因此，若{{mvar|f}}（因此 {{mvar|h}}）为单价，{{mvar|D}}则可用开放领域{{math|''U'' {{=}} ''h''(''D'')}}识别。 受此共形识别影响，映射{{mvar|f}}转换为乘以{{mvar|λ}}（即{{mvar|U}}上的膨胀）。

===证明===
*''独特性''——若{{mvar|k}}是另一个解，一经分析，则足以证明''k'' = ''h''接近于0。令
::<math> H=k\circ h^{-1} (z) </math> 
:接近0。遂''H''(0) =0，''H'''(0)=1 并且对于小|''z'' |，
::<math>\lambda H(z)=\lambda h(k^{-1} (z)) = h(f(k^{-1}(z))=h(k^{-1}(\lambda z)= H(\lambda z)~.</math>

:将{{mvar|H}}代入幂级数，得出{{math|''H''(''z'') {{=}} ''z''}} 接近0。故{{math|''h'' {{=}} ''k''}}接近0。
*''存在''——若<math> F(z)=f(z)/\lambda z,</math>，则依据[[施瓦茨引理]]：

::<math>|F(z) - 1|\le (1+|\lambda|^{-1})|z|~.</math>

:另一方面，
::<math> g_n(z) = z\prod_{j=0}^{n-1} F(f^j(z))~.</math>

:故依据[[魏爾施特拉斯判別法]]检验结果得出''g''<sub>''n''</sub>一致收敛于|''z''| ≤ ''r''，因为

::<math> \sum \sup_{|z|\le r} |1 -F\circ f^j(z)| \le (1+|\lambda|^{-1}) \sum M(r)^j <\infty.</math>

*''单价''——依据[[赫维茨定理 (复数分析)|赫维茨定理]]，由于每个''g''<sup>''n''</sup>具有单价性和正规化两项属性（即固定0并在此有导数1），其极限{{mvar|h}}亦具有单价性。

==引用==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Citation|last=Berkson|first=E.|last2=Porta|first2=H.|title=Semigroups of analytic functions and composition operators|journal=Michigan Math. J.|volume=25|year=1978|pages=101–115|doi=10.1307/mmj/1029002009}}
* {{Citation|last=Carleson|first=L.|last2=Gamelin|first2=T. D. W.|title=Complex dynamics|series=Universitext: Tracts in Mathematics|publisher=Springer-Verlag|year=1993|isbn=0-387-97942-5|url=https://archive.org/details/complexdynamics0000carl}}
* {{Citation|last2=Shoikhet|first2=D.|title=Linearization Models for Complex Dynamical Systems: Topics in Univalent Functions, Functional Equations and Semigroup Theory|volume=208|series=Operator Theory: Advances and Applications|first=M.|last=Elin|publisher=Springer|year=2010|isbn=978-3034605083}}
* {{Citation|first=G.P.X.|last=Koenigs|title=Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles|journal=Ann. Sci. École Norm. Sup.|volume=1|year=1884|pages=2–41}}
* {{Cite book|title=Functional equations in a single variable|url=https://archive.org/details/functionalequati0000mare|last=Kuczma|first=Marek|authorlink=Marek Kuczma|series=Monografie Matematyczne|year=1968|publisher=PWN – Polish Scientific Publishers|location=Warszawa}}  ASIN: B0006BTAC2
* {{Citation|last=Shapiro|first=J. H.|title=Composition operators and classical function theory|series=Universitext: Tracts in Mathematics|publisher=Springer-Verlag|year=1993|isbn=0-387-94067-7}}
* {{Citation|last=Shoikhet|first=D.|title=Semigroups in geometrical function theory|publisher=Kluwer Academic Publishers|year=2001|isbn=0-7923-7111-9}}
[[Category:各类函数]]
[[Category:动力系统]]
[[Category:复分析]]