查看“︁林德曼-魏尔斯特拉斯定理”︁的源代码

'''林德曼-魏尔斯特拉斯定理'''（{{Lang|en|Lindemann–Weierstrass theorem}}）是一个可以用于证明实数的[[超越数|超越性]]的定理。它表明，如果<math>a_1,\ldots,a_n</math> 是[[代数数]]，在[[有理数]] {{UnicodeMath|ℚ}} 内是[[线性独立]]的，那么<math>e^{\alpha_1}, \ldots,e^{\alpha_n}</math>在 {{UnicodeMath|ℚ}} 内是[[代数独立]]的；也就是说，[[扩张域]]<math>\mathbb{Q}(e^{\alpha_1}, \ldots,e^{\alpha_n})</math>在 {{UnicodeMath|ℚ}} 内具有[[超越次数]] {{VarSerif|n}}。

一个等价的表述是：如果<math>a_1,\ldots,a_n</math>是不同的代数数，那么指数<math>e^{\alpha_1}, \ldots,e^{\alpha_n}</math>在代数数范围内是线性独立的。

这个定理由[[费迪南德·冯·林德曼|林德曼]]和[[魏尔斯特拉斯]]命名。林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数<math>\alpha</math>，<math>e^\alpha</math>都是超越数，因此推出了[[圆周率]]是超越数。魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。

这个定理，以及[[格尔丰德-施奈德定理]]，可以推广为[[Schanuel猜想]]。

==''e''和π的超越性==

''[[e (数学常数)|e]]''和[[圆周率|π]]的超越性是这个定理的直接推论。

假设<math>\alpha</math>是一个非零的代数数，那么<math>\left \{ \alpha \right \}</math>在有理数范围内是线性独立的集合，因此根据定理的第一种表述，<math>\left \{ e^\alpha \right \}</math>是一个代数独立的集合，也就是说，<math>e^\alpha</math>是超越数。特别地，<math>e^1=e</math>是超越数<sup>。

另外，利用定理的第二种表述，我们可以证明，如果<math>\alpha</math>是一个非零的代数数，那么<math>\left \{ 0,\alpha \right \}</math>就是不同的代数数的集合，因此集合<math>\{e^0,e^\alpha\}=\{1,e^\alpha\}</math>在代数数范围内是线性独立的，特别地，<math>e^\alpha</math>不能是代数数，因此一定是超越数。 
 
现在，我们来证明<math>\pi</math>是超越数。如果π是代数数，<math>2\pi i</math>也是代数数（因为<math>2i</math>是代数数），那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理，
<math>e^{2\pi i}</math>（参见[[欧拉公式]]）也是超越数，这与1是代数数的事实矛盾。

把这个证明稍微改变以下，可以证明如果<math>\alpha</math>是一个非零的代数数，那么<math>\sin (\alpha)</math>、<math>\cos (\alpha)</math>、<math>\tan (\alpha)</math>和它们的[[双曲函数]]也是超越数。

== ''<math>p</math>''进数猜想 ==
<math>p</math>'''进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想'''，就是这个定理在[[p进数]]中也成立：假设<math>p</math>是[[素数]]，<math>e^{\alpha_1}, \ldots,e^{\alpha_n}</math>是''<math>p</math>''进数，它们都是代数数，且在'''{{UnicodeMath|ℚ}}'''内线性独立，使得对于所有的<math>i</math>，都有<math>|\alpha_i|_p < 1/p</math>。那么[[p进指数]]<math>e^{\alpha_1}, \ldots, e^{\alpha_n}</math>在'''{{UnicodeMath|ℚ}}'''内是代数独立的。

==参见==
*[[E (数学常数)#無理數證明|证明e是无理数]]
*[[证明π是无理数]]

==参考文献==
*{{Citation|last=Baker|first=Alan|title=Transcendental Number Theory|publisher=Cambridge University Press|year=1975|isbn=052139791X}}

==外部链接==
* [https://web.archive.org/web/20090316044558/http://nombrejador.free.fr/article/lindemann-weierstrass_ttj.htm 林德曼-魏尔斯特拉斯定理的证明（HTML）]

[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:E (数学常数)]]
[[Category:指数]]
[[Category:圓周率]]
[[Category:数论定理]]
[[Category:超越數]]