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'''林尼克定理（{{lang-en|Linnik's theorem}}）'''是[[解析数论]]中的一個定理，它回答了一个由[[狄利克雷定理]]自然推广的问题。它声称，存在着正数 ''c'' 和 ''L'' 使得：如果我们用''p''(''a'',''d'')表示最小的素数等差数列

: <math>a + nd,\ </math>

其中 ''n'' 跑遍正[[整数]]，''a'' 和 ''d'' 为任何的[[互质]]正整数滿足 1≤ ''a'' ≤ ''d'' -1，则：

: <math> p(a,d) < c d^{L}. \; </math>

本定理以{{le|尤里·林尼克|Yuri Linnik}}的名字命名，他证明它在1944年。<ref>{{Cite journal|title=On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem|last=Linnik|first=Yu. V.|journal=Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S.|issue=57|year=1944|volume=15|pages=139–178|mr=0012111}}</ref><ref>{{Cite journal|title=On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon|last=Linnik|first=Yu. V.|journal=Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S.|issue=57|year=1944|volume=15|pages=347–368|mr=0012112}}</ref> 虽然林尼克的证据表明 ''c'' 和 ''L'' 是 可计算数，但是他没有提供任何数值。

== 性質 ==
目前已经知道， L ≤2对于幾乎所有整数''d''都成立.<ref>{{Cite journal|title=Primes in Arithmetic Progressions to Large Moduli. III|last=Bombieri|first=Enrico|last2=Friedlander|first2=John B.|authorlink2=John Friedlander|journal=[[Journal of the American Mathematical Society]]|issue=2|doi=10.2307/1990976|year=1989|volume=2|pages=215–224|jstor=1990976|mr=0976723|last3=Iwaniec|first3=Henryk|authorlink3=Henryk Iwaniec}}</ref>

在 [[广义黎曼猜想|广义黎曼假设]]成立的前提下，有，

: <math> p(a,d) \leq (1+o(1))\varphi(d)^2 \ln^2 d \; ,</math>

这里 <math>\varphi</math>是[[欧拉函数]].<ref name="heath-brown">{{Cite journal|title=Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression|last=Heath-Brown|first=Roger|journal=[[Proc. London Math. Soc.]]|issue=3|doi=10.1112/plms/s3-64.2.265|year=1992|volume=64|pages=265–338|mr=1143227}}</ref>
更强的上界是

: <math> p(a,d) \leq \varphi(d)^2 \ln^2 d \; ,</math>

也已证实。<ref name="LamzouriLiSoundararajan">{{Cite journal|title=Conditional bounds for the least quadratic non-residue and related problems|last=Lamzouri|first=Y.|last2=Li|first2=X.|date=2015|journal=Math. Comp.|issue=295|doi=10.1090/S0025-5718-2015-02925-1|volume=84|pages=2391–2412|arxiv=1309.3595|last3=Soundararajan|first3=K.}}</ref>

目前猜测：

: <math> p(a,d) < d^2. \; </math> <ref name="heath-brown">{{Cite journal|title=Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression|last=Heath-Brown|first=Roger|journal=[[Proc. London Math. Soc.]]|issue=3|doi=10.1112/plms/s3-64.2.265|year=1992|volume=64|pages=265–338|mr=1143227}}</ref>

== L的边界 ==
常数 ''L'' 称为'''林尼克常数''' <ref>{{Cite book|last=Guy|first=Richard K.|title=Unsolved problems in number theory|volume=1|publisher=Springer-Verlag|edition=Third|year=2004|isbn=978-0-387-20860-2|page=22|mr=2076335|series=Problem Books in Mathematics|doi=10.1007/978-0-387-26677-0|location=New York}}</ref> 

下表显示了有关该常数迄今为止取得的进展。
{| cellpadding="3"
|L ≤
|证实的年份
|作者
|-
| align="right" |10000
| align="center" |1957年
|[[潘承洞|潘]]<ref>{{Cite journal|title=On the least prime in an arithmetical progression|last=Pan|first=Cheng Dong|journal=Sci. Record|year=1957|series=New Series|volume=1|pages=311–313|mr=0105398}}</ref>
|-
| align="right" |5448
| align="center" |1958年
|潘
|-
| align="right" |777
| align="center" |1965年
|[[陈景润|陈]]<ref>{{Cite journal|title=On the least prime in an arithmetical progression|last=Chen|first=Jingrun|journal=Sci. Sinica|year=1965|volume=14|pages=1868–1871}}</ref>
|-
| align="right" |630
| align="center" |1971年
|朱提拉
|-
| align="right" |550
| align="center" |1970年
|朱提拉
|-
| align="right" |168
| align="center" |1977年
|陈<ref>{{Cite journal|title=On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions|last=Chen|first=Jingrun|journal=Sci. Sinica|issue=5|year=1977|volume=20|pages=529–562|mr=0476668}}</ref>
|-
| align="right" |80
| align="center" |1977年
|朱提拉
|-
| align="right" |36
| align="center" |1977年
|格雷厄姆<ref>{{Cite thesis||last=Graham|first=Sidney West}}</ref>
|-
| align="right" |20
| align="center" |1981年
|格雷厄姆<ref>{{Cite journal|title=On Linnik's constant|last=Graham|first=S. W.|journal=[[Acta Arith.]]|issue=2|doi=10.4064/aa-39-2-163-179|year=1981|volume=39|pages=163–179|mr=0639625}}</ref> (之前提交的陈1979年的文件)
|-
| align="right" |17
| align="center" |1979年
|陈<ref>{{Cite journal|title=On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II|last=Chen|first=Jingrun|journal=Sci. Sinica|issue=8|year=1979|volume=22|pages=859–889|mr=0549597}}</ref>
|-
| align="right" |16
| align="center" |1986年
|王
|-
| align="right" |13.5
| align="center" |1989年
|陈 刘<ref>{{Cite journal|title=On the least prime in an arithmetical progression. III|last=Chen|first=Jingrun|last2=Liu|first2=Jian Min|journal=Science in China Series A: Mathematics|issue=6|year=1989|volume=32|pages=654–673|mr=1056044}}</ref><ref>{{Cite journal|title=On the least prime in an arithmetical progression. IV|last=Chen|first=Jingrun|last2=Liu|first2=Jian Min|journal=Science in China Series A: Mathematics|issue=7|year=1989|volume=32|pages=792–807|mr=1058000}}</ref>
|-
| align="right" |8
| align="center" |1990年
|王<ref>{{Cite journal|title=On the least prime in an arithmetical progression|last=Wang|first=Wei|journal=Acta Mathematica Sinica|issue=3|doi=10.1007/BF02583005|year=1991|series=New Series|volume=7|pages=279–288|mr=1141242}}</ref>
|-
| align="right" |5.5
| align="center" |1992年
|[[羅傑·希斯-布朗|希斯-布朗]]
|-
| align="right" |5.18
| align="center" |2009年
|吉罗里斯
|-
| align="right" |5
| align="center" |2011
|吉罗里斯
|}

此外，在希斯-布朗的结果，常数 ''c'' 是有效的可计算数。

==参考文献==
{{Reflist}}

[[Category:素数定理]]
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