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[[File:Si_sinc.svg|thumb|350px|举例来说，上述未归一化和归一化的[[sinc]]函数的<math>\operatorname{argmax}</math>都是{0}，因为两者都在<math>x=0</math>时取得全局最大值1.<br /><br />未归一化sinc函数（红）的''arg min'' 约为{-4.49, 4.49}，因为在<math>x=\pm 4.49</math>处有两个全局最小值，约为-0.217。归一化sinc函数（蓝）的''arg min''约为{&minus;1.43,&nbsp;1.43}，因为它们的全局最小值在<math>x=\pm 1.43</math>处，尽管最小值相同。<ref>"[http://physics.usyd.edu.au/teach_res/mp/doc/math_sinc_function.pdf The Unnormalized Sinc Function] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170215045226/http://www.physics.usyd.edu.au/teach_res/mp/doc/math_sinc_function.pdf |date=2017-02-15 }}", University of Sydney</ref>]]

[[数学]]中，'''极值点'''（'''arguments of the maxima/minima'''，分别缩写为'''arg max/arg min'''或'''argmax/argmin'''）是使[[函数]]输出值取得[[极值]]的输入点。<ref group="note">我们将输入（''x''）称作点（point），将输出（''y''）称作值（value），如[[临界点 (数学)|临界点]]与临界值。</ref>[[函数的自变量]]在[[定义域]]上，因变量则在[[到达域]]上。

== 定义 ==
给定任意[[集合]]''X''、[[全序集]]''Y''与函数<math>f\colon X \to Y</math>，则某子集<math>S\subseteq X</math>上的<math>\operatorname{argmax}</math>定义为

:<math>\operatorname{argmax}_S f := \underset{x \in S}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{x \in S ~:~ f(s) \leq f(x),\  \forall s \in S \}.</math>

若<math>S = X</math>或''S''在语境中明确，则通常省略''S''，如<math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{ x ~:~ f(s) \leq f(x),\ \forall s \in X \}.</math>也就是说，<math>\operatorname{argmax}</math>是点''x''的[[集合]]，使<math>f(x)</math>到达函数最大值（若存在）。<math>\operatorname{Argmax}</math>可以是[[空集]]、[[单元集]]，或包含多个元素。

在[[凸分析]]与[[变分分析]]中，<math>Y = [-\infty,\infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm\infty \}</math>（是[[广义实数]]）的情形时的定义略有不同。{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-37|ignore-err=yes}}这时，若''f''等同于''S''上的<math>\infty</math>，则<math>\operatorname{argmax}_S f := \varnothing</math>（即<math>\operatorname{argmax}_S \infty := \varnothing</math>），否则<math>\operatorname{argmax}_S f</math>定义如上，这时<math>\operatorname{argmax}_S f</math>也可以写成
:<math>\operatorname{argmax}_S f := \left\{ x \in S ~:~ f(x) = \sup {}_S f \right\}</math> 

这里要强调的是，这个涉及<math>\sup {}_S f</math>的等式只有当''f''在''S''上不等同于<math>\infty</math>时才成立。{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-37|ignore-err=yes}} 

=== Arg min ===
<math>\operatorname{argmin}</math>（或<math>\operatorname{arg\,min}</math>）表示'''极小值点'''，定义与之类似。例如

:<math>\underset{x \in S}{\operatorname{arg\,min}} \, f(x) := \{ x \in S ~:~ f(s) \geq f(x)  \text{ for all } s \in S \}</math>

是使函数值<math>f(x)</math>取得极小值的点''x''。它是<math>\operatorname{arg\,max}</math>的补算子。

在<math>Y = [-\infty,\infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm\infty \}</math>（是[[广义实数]]）的情形时，若''f''在''S''上等同于<math>-\infty</math>，则<math>\operatorname{argmin}_S f := \varnothing</math>（即<math>\operatorname{argmin}_S -\infty := \varnothing</math>），否则<math>\operatorname{argmin}_S f</math>定义如上，这时它也满足
:<math>\operatorname{argmin}_S f := \left\{ x \in S ~:~ f(x) = \inf {}_S f \right\}.</math>{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-37|ignore-err=yes}}

== 例子与性质 ==
例如，若<math>f(x)=1 - |x|</math>，则''f''只有在<math>x = 0</math>这一点上取最大值1。因此

:<math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, (1 - |x|) = \{ 0 \}.</math>

<math>\operatorname{argmax}</math>算子与<math>\max</math>不同，给定相同的函数时，后者返回函数[[极大值]]，而不是使函数取得极大值的点。也就是说
:<math>\max_x f(x)</math> is the element in <math>\{ f(x) ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ for all } s \in S \}.</math>

max可以是空集（这时极大值未定义），这与<math>\operatorname{argmax}</math>相同；不同的是<math>\operatorname{max}</math>可能不含多个元素。<ref group=note>由于<math>\leq</math>的[[反对称关系|反对称性]]，函数至多有一个极大值。</ref>例如，取<math>f(x)=4 x^2 - x^4,</math>则<math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right\},</math>但<math>\underset{x}{\operatorname{max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \{ 4 \}</math>因为函数在<math>\operatorname{argmax}</math>的每个元素上都取相同的值。

等价地，若''M''是''f''的极大值，则<math>\operatorname{argmax}</math>是极大值的[[水平集]]：

:<math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) = \{ x ~:~ f(x) = M \} =: f^{-1}(M).</math>

可以将其重排，得到简单的等式<ref group=note>这是集合间的等式，更确切地说是''Y''的子集间的等式。</ref>

:<math>f\left(\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) \right) = \max_x f(x).</math>

若极大值点只有一个，那么<math>\operatorname{argmax}</math>应被视为一个点，而非点集。例如

:<math>\underset{x\in\mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, (x(10 - x)) = 5</math>

（而非[[单元集]]<math>\{ 5 \}</math>），因为<math>x (10 - x)</math>的极大值25仅在<math>x = 5</math>时取到。<ref group="note">注意<math>x (10 - x) = 25 - (x-5)^2 \leq 25</math>，当且仅当<math>x - 5 = 0</math>时取等。</ref>而若在多个点上都取得极大值，<math>\operatorname{argmax}</math>就应被视为点集。例如

:<math>\underset{x \in [0, 4 \pi]}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \{ 0, 2 \pi, 4 \pi \}</math>

因为maximum value of <math>\cos x</math>的极大值1在<math>x = 0, 2 \pi,\ 4 \pi</math>时取到。在整条实数线上

:<math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \left\{ 2 k \pi ~:~ k \in \mathbb{Z} \right\},</math>因此是无限集。

函数不必达到极大值，因此<math>\operatorname{argmax}</math>有时是[[空集]]。例如<math>\underset{x\in\mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, x^3 = \varnothing</math>，因为<math>x^3</math>在实数线上[[有界函数|无界]]。再举个例子，<math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \arctan(x) = \varnothing</math>，虽然<math>\arctan</math>有界（<math>\pm\pi/2</math>），但由[[极值定理]]，[[闭区间]]上的连续实值函数必有极大值，因此有非空的<math>\operatorname{argmax}</math>。

==另见==
* [[函数的自变量]]
* [[极值]]
* [[众数 (数学)]]
* [[最优化]]
* [[核 (线性算子)]]

==注释==
{{reflist|group=note}}

==参考文献==
{{reflist}}
* {{cite book
| last1=Rockafellar
| first1=R. Tyrrell
| author-link1=R. Tyrrell Rockafellar
| last2=Wets
| first2=Roger J.-B.
| author-link2=Roger J.-B. Wets
| title=Variational Analysis
| publisher=[[Springer Science & Business Media]]
| publication-place=Berlin New York
| date=26 June 2009
| volume=317
| series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
| isbn=9783642024313
| oclc=883392544
}} <!-- {{sfn|Rockafellar|Wets|2009|p=}} -->

==外部链接==
*{{PlanetMath|urlname=argminandargmax|title=arg min and arg max}}

[[Category:初等数学]]
[[Category:反函数]]