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{{Expand language|time=2016-04-13T03:58:14+00:00}}
{{NoteTA |G1=Math}}
{{Probability fundamentals}}
在[[概率论]]和[[統計學]]中，两事件''R'' 和''B'' 在给定的另一事件''Y'' 发生时'''条件独立'''，類似於[[統計獨立性]]，就是指当事件''Y'' 发生时，''R'' 发生与否和''B'' 发生与否就[[条件概率分布]]而言是[[独立 (概率论)|独立]]的。换句话讲，''R'' 和''B'' 在给定''Y'' 发生时条件独立，当且仅当已知''Y'' 发生时，知道''R'' 发生与否无助于知道''B'' 发生与否，同样知道''B'' 发生与否也无助于知道''R'' 发生与否。

==定義==
[[Image:Conditional independence.svg|thumb|450px|两个说明条件独立的例子。每个小方格都表示一种等概率的可能结果。事件''R''、''B''、''Y''分别用红色、蓝色、黄色阴影部分表示。事件''R''和''B''的重叠部分用紫色表示。这些事件发生的概率等于相应阴影部分面积和图形总面积的比值。在这两个例子中，事件''R''和''B''在给定''Y''时都是条件独立的，这是因为

<math>\Pr(R \cap B \mid Y) =  \Pr(R \mid Y)\Pr(B \mid Y)\,</math><ref group="註">这个等式证明如下：Pr(''R'' ∩ ''B'' | ''Y'')是''R''和''B''在''Y''中的重合部分（用紫色表示）面积占''Y''面积的比值。左图中，有两个''R''和''B''重合的方格位于''Y''内，而''Y''有12个方格，所以Pr(''R'' ∩ ''B'' | ''Y'') = {{sfrac|2|12}} = {{sfrac|1|6}}。同理，Pr(''R'' | ''Y'') = {{sfrac|4|12}} = {{sfrac|1|3}}，Pr(''B'' | ''Y'') = {{sfrac|6|12}} = {{sfrac|1|2}}。</ref>

<br /> 但给定''Y''不发生时，它们不是条件独立的，这是因为
: <math>\Pr(R \cap B \mid \bar Y) \not= \Pr(R \mid \bar Y)\Pr(B \mid \bar Y).\,</math>]]
''R''和''B''在给定''Y''发生时条件独立，用概率论的标准记号表示为

:<math>\Pr(R \cap B \mid Y) =  \Pr(R \mid Y)\Pr(B \mid Y)\,</math>

也可以等价地表示为

:<math>\Pr(R \mid B \cap Y) = \Pr(R \mid Y).\,</math>

因为当事件''Y''发生时，''R''发生与否和''B''发生与否就[[条件概率分布]]而言是[[独立 (概率论)|独立]]的。

两个[[随机变量]]''X''和''Y''在给定第三个随机变量''Z''的情况下条件独立当且仅当它们在给定''Z''时的条件概率分布互相独立，也就是说，给定''Z''的任一值，''X''的概率分布和''Y''的值无关，''Y''的概率分布也和''X''的值无关。

==法则==
從基本定義可導出一套描述條件獨立的重要法则。<ref>{{cite journal
 |first=A. P. |last=Dawid |authorlink=Philip Dawid
 |title=Conditional Independence in Statistical Theory
 |journal=[[Journal of the Royal Statistical Society, Series B]]
 |year=1979
 |volume=41 |issue=1 |pages=1–31
 |mr=0535541
 |jstor=2984718
}}</ref><ref name="pearl:2000">J Pearl, Causality: Models, Reasoning, and Inference, 2000, Cambridge University Press</ref>

因這些推论在任何機率空間中都成立，因此也对所有变量关于另一变量的条件概率分布成立，只需考慮相应子空间即可。譬如說<math>X \perp\!\!\!\perp Y \Rightarrow Y \perp\!\!\!\perp X</math>也就意味着<math>X \perp\!\!\!\perp Y \mid K  \Rightarrow Y \perp\!\!\!\perp X \mid K</math>。

注：位於算式下方的[[逗號]]意为“和”。
=== 對稱性 ===
: <math>
X \perp\!\!\!\perp Y
\quad \Rightarrow \quad
Y \perp\!\!\!\perp X
</math>
=== 分解 ===
: <math>
X \perp\!\!\!\perp A,B
\quad \Rightarrow \quad
\text{ and }
\begin{cases}
  X \perp\!\!\!\perp A \\
  X \perp\!\!\!\perp B
\end{cases}
</math>

證明：
* <math>
p_{X,A,B}(x,a,b) = p_X(x) p_{A,B}(a,b)
</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (<math>X \perp\!\!\!\perp A,B</math>的定义)
* <math>
\int_{B} \! p_{X,A,B}(x,a,b) = \int_{B} \! p_X(x) p_{A,B}(a,b)
</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (对''B''积分以消去''B'')
* <math>
p_{X,A}(x,a) = p_X(x) p_A(a)
</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

同理可证''X''和''B''條件獨立。

=== 微弱的聯合 ===
: <math>
X \perp\!\!\!\perp A,B
\quad \Rightarrow \quad
\text{ and }
\begin{cases}
  X \perp\!\!\!\perp A \mid B\\
  X \perp\!\!\!\perp B \mid A
\end{cases}
</math>

證明：
*藉由定義<math>\Pr(X) = \Pr(X \mid A, B) </math>
*由於分解的屬性<math>X \perp\!\!\!\perp B</math>, <math>\Pr(X) = \Pr(X \mid B)</math>
*結合兩個等式得<math>\Pr(X \mid B) = \Pr(X \mid A, B)</math>，其中確認 <math>X \perp\!\!\!\perp A \mid B</math>第二個條件可以類似地被證明。

==註釋==
{{reflist|group="註"}}

==參考資料==
{{reflist}}

==參見==
*[[条件期望]]

{{Authority control}}
[[Category:獨立 (機率論)]]
[[Category:條件機率]]
[[Category:統計學應用領域]]