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{{NoteTA
|G1=Math
}}
在[[概率论]]中，'''条件期望'''是一个实数[[随机变量]]的相对于一个[[条件概率分布]]的[[期望值]]。换句话说，这是给定的一个或多个其他变量的值一个变量的期望值。它也被称为'''条件期望值'''或'''条件均值'''。

条件期望的概念在[[安德雷·柯尔莫哥洛夫|柯尔莫哥洛夫]]的[[测度]]理论概率论的定义很重要。[[条件概率]]的概念是由条件期望来定义的。

== 计算 ==
设<math>X</math>和<math>Y</math>是离散随机变量，则<math>X</math>在给定事件<math>Y = y</math>条件时的条件期望是<math>x</math>的在<math>Y</math>的值域的函数

:<math> \operatorname{E} (X | Y=y ) = \sum_{x \in \mathcal{X}} x \ \operatorname{P}(X=x|Y=y) = \sum_{x \in \mathcal{X}} x \ \frac{\operatorname{P}(X=x,Y=y)}{\operatorname{P}(Y=y)}, </math>

其中，<math>\mathcal{X}</math>是处于<math>X</math>的值域。

如果现在<math>X</math>是一个连续随机变量，而<math>Y</math>仍然是一个离散变量，条件期望是：
:<math> \operatorname{E} (X | Y=y )= \int_{\mathcal{X}} x f_X (x |Y=y) dx </math>

其中，<math> f_X (\,\cdot\, |Y=y)</math>是在给定<math>Y=y</math>下<math>X</math>的[[条件概率分布|条件概率密度函数]]。

== 正式的定义 ==
给定<math>X</math>是一个定义在[[概率空间]]<math>(\Omega,\mathcal F_0,P)</math>上的随机变量，<math>\mathcal F \subset \mathcal F_0</math>是<math>\mathcal F</math>的一个子[[σ-代数]]，且<math>E|X|<\infty</math>。
则定义'''<math>X</math>在给定<math>\mathcal F</math>下的条件期望'''<math>E(X|\mathcal F)</math>是满足以下两个条件的[[随机变量]]<math>Y</math>：
# <math>Y</math>是<math>\mathcal F</math>上的[[可测函数]]；
# <math>\forall A\in \mathcal F: \int_A X dP = \int_A Y dP</math>。
在这一定义下，<math>E(X|\mathcal F)</math>是存在且在[[几乎必然]]的意义下唯一的。<ref>{{cite book |author1=Rick Durrett |first1=Richard |title=Probability : theory and examples |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge |isbn=9781108591034 |edition=Fifth |pages=178-180}}</ref>

== 条件概率的定义 ==

== 参看 ==
* [[全概率公式]]
* [[全期望公式]]
* [[联合分布]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 外部链接 ==
* {{En}}{{Springer |title=Conditional mathematical expectation |id=c/c024500 |first=N.G. |last=Ushakov }}

{{DEFAULTSORT:Conditional Expectation}}
{{Authority control}}
[[Category:條件機率]]
[[Category:统计学术语]]