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'''条件收敛（英语：Conditionally Convergent）'''是[[数学]]中[[无穷级数]]和[[广义积分]]的一种性质。收敛但不[[绝对收敛]]的无穷级数或广义积分称为条件收敛的。一个积分条件收敛的函数也称为'''条件可积'''函数。

==详细定义==
===条件收敛的级数===
给定一个[[实数]]项无穷级数<math>A = \sum_{n} a_n</math>，如果它自身收敛于一个定值<math>C \in \mathbb{R}</math>：
:<math> \sum_{n=1}^\infty a_n = C,</math>
但由每一项的[[绝对值]]构成的正项级数：<math>A_s = \sum_{n} | a_n |</math>不收敛：
:<math> \sum_{n=1}^\infty | a_n | = \infty ,</math>
那么就称这个无穷级数<math>A = \sum_{n} a_n</math>是一个条件收敛的无穷级数。{{r|jaf|page1=149}}

===条件收敛的广义积分===
给定一个在区间<math>[a, \infty)</math>上有定义的函数<math>f(x)</math>，如果<math>f(x)</math>在任意的闭区间<math>[a, b]</math>上都可积，并且广义积分：
:<math>\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{b\to +\infty} \int_{a}^b f(x) \mathrm{d}x</math>
收敛，而函数绝对值的广义积分：
:<math>\int_{a}^{+\infty} |f(x)| \mathrm{d}x = \lim_{b\to +\infty} \int_{a}^b |f(x)| \mathrm{d}x</math>
发散，那么就称广义积分<math>\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x</math>条件收敛。{{r|qh|page1=104}}

==例子==
===无穷级数===
常见的条件收敛的无穷级数包括[[交错调和级数]]：
:<math>A_{h} = 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots = \sum_{n} \frac{(-1)^{n+1}}{n}</math> 
它收敛到定值：<math>\ln 2</math>，而对应的由每项的绝对值构成的正项函数：<math>H = \sum_n \bigg| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \bigg| = \sum_{n}\frac{1}{n}</math>叫做[[调和级数]]，是发散的。
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} =  \infty.</math>

===广义积分===
条件收敛的广义积分的一个例子是函数：<math>\frac{\sin x}{x}</math>在正实数轴上的积分：
:<math>I = \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x </math>
任取实数<math>a > 1</math>，运用分部积分法可以得到：
:<math>\int_{1}^{a} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x = \cos 1 - \frac{\cos a}{a} - \int_{1}^{a} \frac{\cos x}{x^2} \mathrm{d}x </math>
而对任意的正实数<math>A, B > 1</math>：
:<math>\Bigg | \int_{A}^{B} \frac{\cos x}{x^2} \mathrm{d}x \Bigg | \leqslant  \int_{A}^{B} \frac{|\cos x |}{x^2} \mathrm{d}x   \leqslant  \int_{A}^{B} \frac{1 }{x^2} \mathrm{d}x  \leqslant \frac{1}{A} </math>
由[[柯西序列|柯西收敛原理]]可知广义积分<math>\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2} \mathrm{d}x </math>收敛，所以
:<math>\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x = \lim_{a\to +\infty}\int_{1}^{a} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x =\cos 1 -  \lim_{a\to +\infty} \frac{\cos a}{a} -  \lim_{a\to +\infty}\int_{1}^{a} \frac{\cos x}{x^2} \mathrm{d}x 
= \cos 1 - \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2} \mathrm{d}x
</math>
即积分：<math>I = \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x </math>收敛。但是，绝对值函数的积分：<math>I_s = \int_{1}^{+\infty} \bigg|\frac{\sin x}{x} \bigg| \mathrm{d}x </math>不收敛。这是因为对任意自然数<math>k</math>，积分：
:<math>I_k = \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \bigg|\frac{\sin x}{x} \bigg| \mathrm{d}x \geqslant \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin x|}{(k+1)\pi} \mathrm{d}x = \frac{2}{(k+1)\pi} = \frac{2}{\pi}\cdot \frac{1}{k+1}</math>
所以
:<math>I_s = \int_{1}^{+\infty} \bigg|\frac{\sin x}{x} \bigg| \mathrm{d}x \geqslant \sum_{k=1}^{+\infty} I_k \geqslant \frac{2}{\pi}\cdot \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k+1} = +\infty</math>
因此，积分<math>I = \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x </math>是条件收敛的。{{r|qh|page1=104-106}}

==相关定理==
*[[黎曼级数定理]]：假设<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数<math>C</math>，都存在一种从[[自然数]][[集合 (数学)|集合]]到自然数集合的[[排列]]<math>\sigma : \, \, n \mapsto \sigma (n)</math>，使得
:<math>\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = C.</math>
此外，也存在另一种排列<math>\sigma' : \, \, n \mapsto \sigma' (n)</math>，使得
:<math>\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma' (n)} = \infty.</math>
类似地，也可以有办法使它的部分和趋于<math>-\infty</math>，或没有任何极限。{{r|spn|page1=192}}

反之，如果级数是[[绝对收敛]]的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。{{r|spn|page1=193}}

==参见==
*[[无条件收敛]]
*[[绝对收敛]]

==参考来源==
{{reflist|
refs=
<ref name="spn">{{cite book|author=S. Ponnusamy|title=''Foundations of mathematical analysis''|year=2012|publisher=Springer|isbn=9780817682927}}</ref>
<ref name="jaf">{{cite book|author=J. A. Fridy|title=''Introductory analysis: the theory of calculus''|year=2000 |publisher= Gulf Professional Publishing|isbn=9780122676550}}</ref>
<ref name="qh">{{cite book|author=清华大学数学科学系|title=《微积分》|year=2003|publisher=清华大学出版社有限公司|location=北京|isbn=9787302069171}}</ref> 
}}

[[Category:级数]]
[[Category:积分学]]
[[Category:收敛 (数学)]]
[[Category:可和理论]]