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'''李超代数'''是[[李代数]]的推广，包含了'''Z'''<sub>2</sub>{{nbh}}[[分次代数]]。李超代数在[[理论物理]]中十分重要，用于描述[[超对称]]的数学理论。其中，超代数的偶元素大多对应[[玻色子]]，奇元素大多对应[[费米子]]（也有相反者，如[[BRST量子化|BRST超对称]]）。

==定义<!--'Lie superbracket' and 'Supercommutator' redirect here-->==
形式上看，李超代数是[[交换环]]（一般是'''R'''或'''C'''）上的非结合'''Z'''<sub>2</sub>-[[分次代数]]，或“[[超代数]]”，其积为[·,&nbsp;·]，称作'''李超括号'''或'''超交换子'''，满足两个条件（与分次的通常[[李代数]]类似）：

超反对称性（skew-symmetry）：

:<math>[x,y]=-(-1)^{|x| |y|}[y,x].\ </math>

超雅可比恒等式：<ref>{{harvnb|Freund|1983|p=8}}</ref>

:<math>(-1)^{|x||z|}[x, [y, z]] + (-1)^{|y||x|}[y, [z, x]] + (-1)^{|z||y|}[z, [x, y]] = 0, </math>

其中''x''、''y''、''z''在'''Z'''<sub>2</sub>分次中为纯。|''x''|表示''x''的度（0或1）。[x,y]的度是x、y度之和模2。

有时，还会在<math>|x|=0</math>时添加公理<math>[x,x]=0</math>（若2可逆，则公理自动成立）；对<math>|x|=1</math>时，有<math>[[x,x],x]=0</math>（若3可逆，则公理自动成立）。当基环是整数或李超代数是自由模时，这些条件等同于[[庞加莱–伯克霍夫–威特定理]]成立的条件（一般而言是定理成立的必要条件）。

正如对李代数一样，李超代数的[[泛包络代数]]可被赋予[[霍普夫代数]]结构。
反交换、在分次意义上雅可比的[[分次李代数]]（按'''Z'''或'''N'''分次）也有<math>Z_2</math>分次（称作将代数“卷”为奇偶部分），但不称作“超”。

== 性质 ==
令<math>\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g_1</math>为李超代数。通过观察雅可比恒等式，可发现有8种情况取决于参数的奇偶。以奇元素个数为索引，分成4类：<ref>{{harvnb|Varadarajan|2004|p=89}}</ref>

# 无奇元素。即<math>\mathfrak g_0</math>为平凡李代数。
# 1个奇元素。则<math>\mathfrak g_1</math>是作用<math>\mathrm{ad}_a: b \rightarrow [a, b], \quad a \in \mathfrak g_0, \quad b, [a, b] \in \mathfrak g_1</math>的<math>\mathfrak g_0</math>模。
# 2个奇元素。雅可比恒等式说明括号<math>\mathfrak g_1 \otimes \mathfrak g_1 \rightarrow \mathfrak g_0</math>是对称<math>\mathfrak g_1</math>映射。
# 3个奇元素。对所有<math>b \in \mathfrak g_1</math>，都有<math>[b,[b,b]] = 0</math>。

因此，李超代数的偶超代数<math>\mathfrak g_0</math>形成（正常）李代数，因为所有符号都消失了，超括号变为普通李括号；而<math>\mathfrak g_1</math>是<math>\mathfrak g_0</math>的线性表示，存在[[对称]]<math>\mathfrak g_0</math>[[等变映射|等变]][[线性映射]]<math>\{\cdot,\cdot\}:\mathfrak g_1\otimes \mathfrak g_1\rightarrow \mathfrak g_0</math>使得

:<math>[\left\{x, y\right\},z]+[\left\{y, z\right\},x]+[\left\{z, x\right\},y]=0, \quad x,y, z \in \mathfrak g_1.</math>

条件(1)&ndash;(3)是现行的，都可以用普通李代数来理解。条件(4)是飞现行的，且是在从普通李代数（<math>\mathfrak g_0</math>）和表示（<math>\mathfrak g_1</math>）开始构造李超代数时最难验证的条件。

==对合==
'''<sup>∗</sup>李超代数'''是配备自身到自身的[[对合]][[反线性映射]]的复李超代数，映射反映'''Z'''<sub>2</sub>分次且对李超代数中所有''x''、''y''都有<math>[x,\ y]^*=[y^*,\ x^*]</math>（有人更喜好约定<math>[x,\ y]^*=(-1)^{|x||y|}[y^*,\ x^*]</math>；将*改为−*可在两种约定之间切换）。其[[泛包络代数]]将是普通[[对合代数]]。

==例子==
给定结合[[超代数]]<math>A</math>，可通过以下方式定义齐次元素上的超交换子：

:<math>[x,y] = xy - (-1)^{|x||y|}yx\ </math>

然后线性延伸到所有元素。代数<math>A</math>与超交换子共同构成李超代数。这个过程最简单的例子也许是当<math>A</math>为超向量空间<math>V</math>中所有线性函数<math>\mathbf {End}(V)</math>的空间。<math>V = \mathbb K^{p|q}</math>时，该空间可表为<math>M^{p|q}</math>或<math>M(p|q)</math>。<ref>{{harvnb|Varadarajan|2004|p=87}}</ref>用上述李括号，空间可表为<math>\mathfrak {gl}(p|q)</math>。<ref>{{harvnb|Varadarajan|2004|p=90}}</ref>

同伦群上的[[怀特海德积]]给出了许多整数上的李超代数的例子。

[[超庞加莱代数]]生成了平面[[超空间]]的等距。

==分类==

[[维克托·卡茨]]对简单复有限维李超代数进行了分类：（不包括李代数）<ref>{{Cite book |last=Cheng S.-J. ;Wang W. |url=https://www.worldcat.org/oclc/809925982 |title=Dualities and representations of Lie superalgebras |date=2012 |isbn=978-0-8218-9118-6 |location=Providence, Rhode Island |pages=12 |oclc=809925982}}</ref>
'''特殊线性李超代数''' <math>\mathfrak{sl}(m|n)</math>'''.'''

李超代数<math>\mathfrak{sl}(m|n)</math>是<math>\mathfrak{gl}(m|n)</math>的超代数，包含超迹为0的矩阵。<math>m\not=n</math>时是简单的；<math>m=n</math>时，单位矩阵<math> I_{2m} </math>产生一个理想。对理想取商，可得 <math>\mathfrak{sl}(m|m) / \langle I_{2m} \rangle</math>，对<math>m \geq 2</math>是简单的。

'''正交辛李超代数''' <math>\mathfrak{osp}(m|2n)</math>.

考虑<math>\mathbb{C}^{m|2n}</math>上的偶、非退化、超对称双射形式<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>，则正交辛李超代数是<math>\mathfrak{gl}(m|2n)</math>的超代数，包含的矩阵满足下式不变：<math display="block">\mathfrak{osp}(m|2n) = \{ X \in \mathfrak{gl}(m|2n) \mid \langle X u,v \rangle + (-1)^{|X||u|} \langle u, X v\rangle =0 \text{ for all } u,v \in \mathbb{C}^{m|2n} \}. </math>其偶部由<math>\mathfrak{so}(m) \oplus \mathfrak{sp}(2n)</math>给出。

'''例外李超代数''' <math>D(2,1;\alpha)</math>.

有一族取决于参数<math>\alpha</math>的(9∣8)维李超代数，它们是<math>D(2,1)=\mathfrak{osp}(4|2)</math>的变形。若<math>\alpha\not=0</math>、<math>\alpha\not=-1</math>，则D(2,1,α)是简单的；若<math>\alpha</math>、<math>\beta</math>在映射<math>\alpha \mapsto \alpha^{-1}</math>、<math>\alpha \mapsto -1-\alpha</math>的作用下处于同一轨道，则<math>D(2,1;\alpha) \cong D(2,1;\beta)</math>。

'''例外李超代数''' <math>F(4)</math>.

具有维度(24|16)。偶部由<math>\mathfrak{sl}(2) \oplus \mathfrak{so}(7)</math>给出。

'''例外李超代数''' <math>G(3)</math>.

具有维度(17|14)。偶部由<math>\mathfrak{sl}(2) \oplus G_2</math>给出。

还有2个所谓“奇异”序列，分别叫做<math>\mathfrak{pe}(n)</math>、<math>\mathfrak{q}(n)</math>.

'''Cartan类型'''。可分为4族：<math>W(n)</math>、<math>S(n)</math>、<math>\widetilde{S}(2n)</math>、<math>H(n)</math>。对于简单李超代数的Cartan类型，奇部在偶部的作用下不再完全可还原。
==无穷维简单线性紧李超代数的分类==
分类包含10个系列'''W'''(''m'', ''n''), '''S'''(''m'', ''n'') ((m, n) ≠ (1, 1)), '''H(2m, n)''', '''K'''(2''m'' + 1, ''n''), '''HO(m, m)''' (''m'' ≥ 2), '''SHO'''(''m'', ''m'') (''m'' ≥ 3), '''KO'''(''m'', ''m'' + 1), '''SKO(m, m + 1; β)''' (''m'' ≥ 2), '''SHO'''&nbsp;∼&nbsp;(2''m'', 2''m''), '''SKO'''&nbsp;∼&nbsp;(2''m'' + 1, 2''m'' + 3)及5个例外代数：

::'''E(1, 6)''', '''E(5, 10)''', '''E(4, 4)''', '''E(3, 6)''', '''E(3, 8)'''

最后两个特别有趣（据Kac所说），因为它们的零级代数是标准模型规范群'''SU'''(3)×'''S'''U(2)×'''U'''(1)。无穷维（仿射）李超代数是[[超弦理论]]中重要的对称，具体来说，具有<math>\mathcal{N}</math>超对称的Virasoro代数是<math>K(1, \mathcal{N})</math>，其只有中心扩展到<math>\mathcal{N} = 4</math>。<ref>{{harvnb|Kac|2010}}</ref>

==范畴论定义==
[[范畴论]]中，'''李超代数'''可定义为非结合[[超代数]]，其积满足

*<math>[\cdot,\cdot]\circ ({\operatorname{id}}+\tau_{A,A})=0</math>
*<math>[\cdot,\cdot]\circ ([\cdot,\cdot]\otimes {\operatorname{id}} \circ({\operatorname{id}}+\sigma+\sigma^2)=0</math>
其中σ是循环包络辫<math>({\operatorname{id}} \otimes\tau_{A,A}) \circ (\tau_{A,A}\otimes {\operatorname{id}})</math>。以图表示：

:[[File:Liealgebra.png|center]]

==另见==
* [[格尔斯滕哈伯代数]]
* [[任意子李代数]]
* [[外代数]]
* [[李超代数的表示]]
* [[超空间]]
* [[超群]]
* [[泛包络代数]]

== 注释 ==
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{cite book|first1=S.-J.|last1=Cheng|first2=W.|last2=Wang|title=Dualities and Representations of Lie Superalgebras|series=Graduate Studies in Mathematics|volume=144|year=2012|pages=302pp|isbn=978-0-8218-9118-6}}
*{{cite book|title=Introduction to supersymmetry|last=Freund|first=P. G. O.|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=1983|series=Cambridge Monographs on Mathematical Physics|isbn=978-0521-356-756|doi=10.1017/CBO9780511564017}}
*{{Cite journal|first1=P.|last1=Grozman|first2=D.|last2=Leites|first3=I.|last3=Shchepochkina|arxiv=hep-th/9702120|title=Lie Superalgebras of String Theories|journal=Acta Mathematica Vietnamica |volume=26|issue=2005|pages=27–63|year=2005|bibcode=1997hep.th....2120G}}
*{{cite journal|last=Kac|first=V. G.|authorlink=Victor Kac|title=Lie superalgebras|journal=[[Advances in Mathematics]]|volume=26|year=1977|issue=1|pages=8–96|doi=10.1016/0001-8708(77)90017-2|doi-access=free}}
*{{cite book|last=Kac|first=V. G.|title=Visions in Mathematics |chapter=Classification of Infinite-Dimensional Simple Groups of Supersymmetries and Quantum Field Theory |year=2010|pages=162–183|doi=10.1007/978-3-0346-0422-2_6|arxiv=math/9912235|isbn=978-3-0346-0421-5|s2cid=15597378}}
*{{cite book |last = Manin | first = Y. I. | authorlink = Yuri Manin| title = Gauge Field Theory and Complex Geometry | publisher = Springer | location = Berlin | year = 1997 | edition = (2nd ed.) | isbn = 978-3-540-61378-7}}
*{{cite book|first=I. M.|last=Musson|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=131|year=2012|pages=488 pp|isbn=978-0-8218-6867-6|url=https://www.ams.org/bookstore?fn=20&arg1=tb-aa&ikey=GSM-131|title=Lie Superalgebras and Enveloping Algebras|access-date=2023-11-19|archive-date=2015-09-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20150915014424/http://www.ams.org/bookstore?fn=20&arg1=tb-aa&ikey=GSM-131|dead-url=no}}
*{{cite book|last=Varadarajan|first=V. S.|authorlink=V. S. Varadarajan|title=Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction|year=2004|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-3574-6|url=https://books.google.com/books?id=sZ1-G4hQgIIC&q=supersymmetry+for+mathematicians&pg=PA1|series=Courant Lecture Notes in Mathematics|volume=11|access-date=2023-11-19|archive-date=2023-11-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20231119013843/https://books.google.com/books?id=sZ1-G4hQgIIC&q=supersymmetry+for+mathematicians&pg=PA1|dead-url=no}}

=== 历史 ===
*{{cite journal|last1=Frölicher|first1=A.|last2=Nijenhuis|first2=A.|author2-link=Albert Nijenhuis|journal=[[Indagationes Mathematicae]]|title=Theory of vector valued differential forms. Part I|volume=59|year=1956|doi=10.1016/S1385-7258(56)50046-7|pages=338–350}}.
*{{Cite journal|last=Gerstenhaber|first=M.|authorlink=Murray Gerstenhaber|title=The cohomology structure of an associative ring|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1963-09_78_2/page/267|jstor=1970343|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=78 |year=1963|issue=2|pages=267–288|doi=10.2307/1970343}}
*{{Cite journal|last=Gerstenhaber|first=M.|title=On the Deformation of Rings and Algebras|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1964-01_79_1/page/59|jstor=1970484|journal=Annals of Mathematics|volume=79|year=1964|issue=1|pages=59–103|doi=10.2307/1970484}}
*{{cite journal|first1=J. W.|last1=Milnor|authorlink1=John Milnor|first2=J. C.|last2=Moore|title=On the structure of Hopf algebras|journal=Annals of Mathematics|volume=81|issue=2|year=1965|pages=211–264|doi=10.2307/1970615|jstor=1970615|url=https://polipapers.upv.es/index.php/AGT/article/view/2250|access-date=2023-11-19|archive-date=2023-11-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20231119015342/https://polipapers.upv.es/index.php/AGT/article/view/2250|dead-url=no}}

==外部链接==
*[https://web.archive.org/web/20081007130152/http://justpasha.org/math/links/subj/lie/kaplansky/  Irving Kaplansky + Lie Superalgebras]
{{Authority control}}

[[Category:超对称]]
[[Category:李代数]]