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在数学中，'''李代数上同调'''是[[李代数]]的一种上同调理论，由[[谢瓦莱]]和[[塞缪尔·艾伦伯格|艾伦伯格]]{{sfn|Chevalley|Eilenberg|1948}}为了对紧[[李群]]的[[拓扑空间]]的上同调进行代数构造而建立。在上文提及的论文中，一个特定的被称作{{link-en|Koszul复形|Koszul_complex}}的特殊复形，在李代数的[[模]]上定义，而其上同调则以一般形式被构造。

==动机==

令G为一个紧李群，则其被对应的李代数完全确定，因此由李代数来确定李群上同调应为可能的。我们使用如下的构造。注意到李群的上同调是G上的微分形式构成的复形对应的[[德拉姆上同调]]，而这个复形可以被替换为等变微分形式的复形，而后者则可以被看作带有一个合适的微分算子的李代数的外代数。这一微分算子的构造对于任何李代数都成立，因此被用于定义所有李代数的李代数上同调。更加一般化地，我们可以用类似的构造来定义模系数的李代数上同调。

==定义==

令<math>\mathfrak{g}</math>是一个交换环R上的一个李代数，其[[泛包络代数]]为<math>U\mathfrak{g}</math>；令M为<math>\mathfrak{g}</math>的一个表示（或者，等效地，<math>U\mathfrak{g}</math>的一个模）。将R考虑为<math>\mathfrak{g}</math>的一个平凡表示，则可以构造上同调群

::<math>\mathrm{H}^n(\mathfrak{g}; M) := \mathrm{Ext}^n_{U\mathfrak{g}}(R, M)</math>

（参见[[Ext函子]]）。等效地，我们可以将其看作下面这个左正合不变子模函子的右[[导出函子]]：

::<math>M \mapsto M^{\mathfrak{g}} := \{ m \in M \mid gm = 0\ \text{ for all } g \in \mathfrak{g}\}.</math>

类似地，可以定义李代数同调群为

::<math>\mathrm{H}_n(\mathfrak{g}; M) := \mathrm{Tor}_n^{U\mathfrak{g}}(R, M)</math>

（参见[[Tor函子]]）。我们也可以将其看作下面这个右正合[[群作用|协不变]]函子的左导出函子：

::<math> M \mapsto M_{\mathfrak{g}} := M / \mathfrak{g} M.</math>

李代数上同调的重要基本结果包括：{{link-en|怀特海德引理|Whitehead's_lemma_(Lie_algebras)}}，{{link-en|外尔定理|Weyl's_theorem_on_complete_reducibility}}和{{link-en|莱维分解定理|Levi_decomposition}}。

==低维上同调==
第零上同调群，由定义，是李代数在模上作用的不变量：
::<math>H^0(\mathfrak{g}; M) =M^{\mathfrak{g}} = \{ m \in M \mid gm = 0\ \text{ for all } g \in \mathfrak{g}\}.</math>

第一上同调群，是所有导子的空间模去内导子空间：
::<math>H^1(\mathfrak{g}; M) =Der(\mathfrak{g}, M)/Ider(\mathfrak{g}, M)</math>
其中导子指一个从李代数到''M''的映射''d''使得
::<math>d[x,y] = xdy-ydx~</math>
若有''M''内的元素''a''使得
::<math>dx = xa~</math>
则称其为内导子。

第二上同调群
::<math>H^2(\mathfrak{g}; M)</math>
是由''M''对李代数的李代数扩张的等价类的空间
::<math>0\rightarrow M\rightarrow \mathfrak{h}\rightarrow\mathfrak{g}\rightarrow 0</math>

对于更高维的上同调群，似乎没有简单的诠释存在。

==参见==
* 理论物理学中的[[BRST量子化]]。

==注释==
{{reflist}}

==文献==
*{{Citation | last1=Chevalley | first1=Claude | last2=Eilenberg | first2=Samuel | author2-link=Samuel Eilenberg | title=Cohomology Theory of Lie Groups and Lie Algebras | jstor=1990637 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | mr=0024908 | year=1948 | journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9947 | volume=63 | issue=1 | pages=85–124 | doi=10.2307/1990637}}
*{{Citation | last1=Hilton | first1=P. J. | last2=Stammbach | first2=U. | title=A course in homological algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94823-2 | mr=1438546 | year=1997 | volume=4}}
*{{Citation | last1=Knapp | first1=Anthony W. | title=Lie groups, Lie algebras, and cohomology | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Mathematical Notes | isbn=978-0-691-08498-5 | mr=938524 | year=1988 | volume=34}}

[[Category:同调代数]]
[[Category:李代數]]