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'''李亞普諾夫方程'''（{{lang-en|Lyapunov equation}}）是[[控制理論]]中的名詞，'''離散李亞普諾夫方程'''的型式如下：
:<math>A X A^{H} - X + Q = 0</math>
其中<math>Q</math>為[[埃尔米特矩阵]]，<math>A^H</math>為<math>A</math>的[[共轭转置]]。'''而連續李亞普諾夫方程'''則是
:<math>AX + XA^H + Q = 0</math>

李亞普諾夫方程應用在控制理論中的許多分支中，例如[[李雅普诺夫稳定性|稳定性分析]]及[[最优控制]]。李亞普諾夫方程是得名自俄羅斯數學家[[亞歷山大·李亞普諾夫]]。

==在穩定性中的應用==
在以下的定理中，<math>A, P, Q \in \mathbb{R}^{n \times n}</math>，且<math>P</math> 和<math>Q</math>是對應矩陣。而<math>P>0</math>的意思是指<math>P</math>矩陣為[[正定矩陣]]。

'''定理'''（連續時間版本）：給定任意<math>Q>0</math>，存在唯一<math>P>0</math>滿足<math>A^T P + P A + Q = 0</math>的充份必要條件是線性系統<math>\dot{x}=A x</math>是全域漸近穩定。二次函數<math>V(z)=z^T P z</math>是[[李亞普諾夫函數]]，可以驗證系統的穩定性。

'''定理'''（離散時間版本）：給定任意<math>Q>0</math>，存在唯一<math>P>0</math>滿足<math>A^T P A -P + Q = 0</math>的充份必要條件是線性系統<math>x(k+1)=A x(k)</math>是全域漸近穩定。<math>z^T P z</math>為其李亞普諾夫函數。

==求解的計算層面==
有特殊的軟體可以求解李亞普諾夫方程。若是離散型式，常會用Kitagawa的Schur法<ref>{{cite journal |last=Kitagawa |first=G. |title=An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S |journal=International Journal of Control |volume=25 |issue=5 |pages=745–753 |year=1977 |doi=10.1080/00207177708922266 }}</ref>，若是連續型式，則會用Bartels和Stewart的計算法<ref>{{cite journal |first=R. H. |last=Bartels |first2=G. W. |last2=Stewart |title=Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C |journal=Comm. ACM |volume=15 |year=1972 |issue=9 |pages=820–826 |doi=10.1145/361573.361582 }}</ref>。

==解析解==
定義<math>\operatorname{vec} (A)</math>（向量化）運算子是將矩陣A的所有列堆起来所形成的列向量，而<math>A \otimes B</math>是<math>A</math>和<math>B</math>的[[克罗内克积]]。兩種李亞普諾夫方程都可以用矩陣方程的解來表示。而且，若矩陣<math>A</math>穩定，解也可以用積分（連續時間）或是無限項和（離散時間）來表示。

===離散時間===
利用<math> \operatorname{vec}(ABC)=(C^{T} \otimes A)\operatorname{vec}(B) </math>的結果，可以得到
:<math> (I_{n^2}-\bar{A} \otimes A)\operatorname{vec}(X) = \operatorname{vec}(Q) </math>
其中<math>I_{n^2}</math>為{{le|可相乘|conformable}}的單位矩陣<ref>{{cite book |first=J. |last=Hamilton |year=1994 |title=Time Series Analysis |url=https://archive.org/details/timeseriesanalys0000hami |at=Equations 10.2.13 and 10.2.18 |location= |publisher=Princeton University Press |isbn=0-691-04289-6 }}</ref>。可以積分或或是求解線性方程，即可以得到<math>\operatorname{vec}(X)</math>。再將各列重新整理，即可得到<math>X</math>。

而且，若<math>A</math>穩定，解<math>X</math>也可以表示為
:<math> X = \sum_{k=0}^{\infty} A^{k} Q (A^{H})^k </math>。

===連續時間===
再利用克罗内克积和<math>\operatorname{vec} (A)</math>運算子，可以得到矩陣方程
:<math> (I_n \otimes A +  \bar{A} \otimes I_n) \operatorname{vec}X = -\operatorname{vec}Q, </math>
其中<math>\bar{A}</math>是將<math>A</math>各元素取共軛得到的矩陣。

類似離散時間的情形，若<math>A</math>穩定，解<math>X</math>也可以表示為
:<math> X = \int\limits_0^\infty e^{A \tau} Q e^{A^H \tau} d\tau  </math>.

==相關條目==
* [[西爾維斯特方程]]
* [[代數Riccati方程]]
* [[卡尔曼滤波]]

==參考資料==
{{reflist}}

==外部連結==
*[https://web.archive.org/web/20171129162733/http://calculator.vhex.net/calculator/linear-algebra/solve-lyapunov-eqution Online Lyapunov equation solver]

{{DEFAULTSORT:Lyapunov Equation}}
[[Category:控制理论]]