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{{lead section|time=2016-10-23T00:24:38+00:00}}
'''权方和不等式'''是一种[[分式不等式]]。

<math>a_i,b_i>0</math>

<math>\begin{cases}
\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{a_i^{m+1}}{b_i^m} \ge \frac{(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i)^{m+1}}{(\displaystyle \sum_{i=1}^n b_i)^m},m<-1,m>0\\
\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{a_i^{m+1}}{b_i^m} \le \frac{(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i)^{m+1}}{(\displaystyle \sum_{i=1}^n b_i)^m},-1<m<0
\end{cases}</math><ref name="wanshan">{{cite journal|author=杨海霞 李志|year=2010|title=权方和不等式的完善|journal=中学数学研究|issue=2|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-JYXJ201002009.htm|access-date=2014-03-20|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304084428/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-JYXJ201002009.htm|dead-url=no}}</ref>

取等条件：<math>\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}</math>

==证明==
利用[[伯努利不等式]]：<ref name="wanshan"/>

<math>s=\frac{1}{a_1+a_2+...+a_n},t=\frac{1}{b_1+b_2+...+b_n}</math>

m<-1 或 m>0时
:<math>\sum_{i=1}^n \frac{(sa_i)^{m+1}}{(tb_i)^m}=\sum_{i=1}^n tb_i(\frac{sa_i}{tb_i})^{m+1} \ge \sum_{i=1}^n tb_i[1+(m+1)(\frac{sa_i}{tb_i}-1)]</math>

:<math>=\sum_{i=1}^n tb_i[(m+1)\frac{sa_i}{tb_i}-m]=\sum_{i=1}^n (m+1)sa_i-mtb_i=m+1-m=1</math>

:<math>\sum_{i=1}^n \frac{a_i^{m+1}}{b_i^m} \ge \frac{t^m}{s^{m+1}}=\frac{(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i)^{m+1}}{(\displaystyle \sum_{i=1}^n b_i)^m}</math>

-1<m<0时
:<math>\sum_{i=1}^n \frac{(sa_i)^{m+1}}{(tb_i)^m}=\sum_{i=1}^n tb_i(\frac{sa_i}{tb_i})^{m+1}\le \sum_{i=1}^n tb_i[1+(m+1)(\frac{sa_i}{tb_i}-1)]</math>

:<math>=\sum_{i=1}^n tb_i[(m+1)\frac{sa_i}{tb_i}-m]=\sum_{i=1}^n (m+1)sa_i-mtb_i=m+1-m=1</math>

<math>\sum_{i=1}^n \frac{a_i^{m+1}}{b_i^m} \le \frac{t^m}{s^{m+1}}=\frac{(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i)^{m+1}}{(\displaystyle \sum_{i=1}^n b_i)^m}</math>

==参见==
*[[赫尔德不等式]]

==参考资料==
{{reflist}}

[[分类:代数不等式]]