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在[[数学]]中，'''札克变换'''<ref name="EM" /> <ref name="TAH" /> （英文：'''Zak Transform'''，也称[[伊斯拉埃爾·蓋爾范德|'''盖尔范德''']]'''映射'''）是一种变换，输入是一个一元函数，输出是一个二元函数。输出函数称为输入函数的札克变换。该变换以[[级数|无穷级数]]定义，其中每一项都是该函数的特定取值和复指数[[指数函数|函数]]的乘积。在[[信号处理]]中，札克变换的输入为时域[[信号 (信息论)|信号]]，输出是该信号的混合[[时间|时]][[頻率 (物理學)|频]]表示。输入信号取值可为[[实数|实值]]或[[复数 (数学)|复值]]，可定义在连续集（如全体实数）或[[孤点|离散集]]（如整数或整数的子集）上。札克变换是[[离散时间傅里叶变换|离散时间傅立叶变换]]的推广。 <ref name="EM">{{Cite web|title=Zak transform|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Zak_transform|access-date=15 December 2014|website=Encyclopedia of Mathematics|archive-date=2014-12-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20141219185031/http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Zak_transform|dead-url=no}}</ref> <ref name="TAH">{{Cite book|editor-last=Alexander D. Poularikas|title=Transforms and Applications Handbook|date=2010|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4200-6652-4|pages=16.1–16.21|edition=3rd}}</ref>

札克变换在不同领域被多人独立发现，各自命名。[[伊斯拉埃尔·盖尔范德]]在其关于[[特征函数]]的工作中首次引入了这一变换，因而其也被称为[[伊斯拉埃爾·蓋爾范德|盖尔范德]]映射。1967年，约书亚·札克独立地重新发现了这一变换，称之为“k-q表示”。本领域工作者普遍称这一变换为札克变换，因为札克首先意识到了它的应用前景，并在更一般的情况下，对其进行了更系统的研究。<ref name="EM"/><ref name="TAH"/>

== 连续时间札克变换：定义 ==
在连续时间札克变换中，假定输入函数为[[实变函数]]，设<math>f(t)</math> 为实变量''t''的函数, <math>f(t)</math>的连续时间札克变换结果为一个二元函数，其中一个变量是''t'' ，另一个变量用''w''表示，可由如下多种方式定义：

=== 定义1 ===
设''a''为大于0的常数，<math>f(t)</math>的连续时间札克变换可定义如下：<ref name="EM"/>

: <math>Z_a[f](t,w) = \sqrt{a}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(at + ak)e^{-2\pi kw i}</math>

=== 定义2 ===
在定义1中，有时取''a = 1。''<ref name="TAH"/> 在这种情况下，<math>f(t)</math>的连续时间札克变换可以简化为：

: <math>Z[f](t,w) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(t + k)e^{-2\pi kw i}</math>

=== 定义3 ===
有时，连续时间札克变换可由定义1简化为不同于定义2的另一种形式。在这种形式下， <math>f(t)</math>的连续时间札克变换为：

: <math>Z[f](t,\nu) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(t + k)e^{-k\nu  i}</math>

=== 定义4 ===
设''T''为为大于0的常数。 <math>f(t)</math>的连续时间札克变换也可由下式定义：<ref name="TAH"/>

: <math>Z_T[f](t,w) = \sqrt{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(t + kT)e^{-2\pi kwT i}</math> 

此时，''t''与''w''满足：<math>0 \leqslant t \leqslant T</math>, <math>0 \leqslant w \leqslant \frac{1}{T}</math>

== 示例 ==
试求如下函数的札克变换：

: <math>\phi(t)=\begin{cases}1,&0\le t<1 \\ 0, &\text{otherwise}\end{cases}</math>

解：

: <math>Z[\phi](t,w)=e^{-2\pi \lceil -t\rceil w i}</math>

其中<math>\lceil - t\rceil </math>表示不小于<math>-t</math>的最小整数（[[取整函数|ceil函数]]）。

== 札克变换的性质 ==
以下讨论中的札克变换均采用定义二：

'''1.线性'''

设''a''和''b''为任意复数，则：

: <math>Z[af+bg](t,w)=aZ[f](t,w)+bZ[g](t,w)</math>

'''2.周期性'''

: <math>Z[f](t, w+1) = Z[f](t,w)</math>

'''3.准周期性'''

: <math>Z[f](t+1, w)= e^{2\pi w i}Z[f](t,w)</math>

'''4.共轭性'''

: <math> Z[\bar{f}](t,w)=\overline{Z[f]}(t,-w)</math>

'''5.对偶性'''

: 若<math>f(t)</math>是偶函数，则：<math>Z[f](t,w)=Z[f](-t,-w)</math>

: 若<math>f(t)</math>是奇函数，则：<math>Z[f](t,w)= -Z[f](-t,-w)</math>

'''6.卷积性'''

令<math> \star</math>表示对变量''t''的[[卷积]]：

: <math>Z[f\star g](t,w)=Z[f](t,w)\star Z[g](t,w)</math>

== 逆变换公式 ==
给定函数的札克变换，原函数可用下式计算：

: <math>f(t)= \int_0^1 Z[f](t,w)\, dw.</math>

== 离散札克变换：定义 ==
设<math>f(n)</math>是一个定义在整数域上的函数，即自变量n是一个整数，满足<math>n \in \mathbb Z</math> 。与连续时间札克变换相同，<math>f(n)</math>的离散札克变换同样是一个二元函数，其中一个自变量是<math>n</math> ，另一个变量是一个实数，表示为<math>w</math> ；离散札克变换同样有不同的定义，下面给出其中一种定义方式：

=== 定义 ===
函数的离散札克变换<math>f(n)</math>，记为<math>Z[f]</math>，由下式定义，其中<math>n</math>是一个整数：

: <math>Z[f](n,w)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(n+k)e^{-2\pi k w i}.</math>

=== 逆变换公式 ===
给定函数的离散札克变换<math>f(n)</math> ，原函数可用下式计算：

: <math>f(n)= \int_0^1 Z[f](n,w)\, dw.</math>

== 应用 ==
札克变换在物理学中的[[量子场论]]、 <ref>{{Cite book|last=J. Klauder, B.S. Skagerstam|title=Coherent States|publisher=World Scientific|date=1985}}</ref>[[电气工程]]中信号的时频表示与数字通信中均有应用。 

== 参考文献 ==
<references group="" responsive="1"></references>{{DSP}}
[[Category:變換]]