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在[[数学]]裡，'''本迪克森-杜拉克定理'''说明了对于一个二维的[[驻定系统|驻定]][[动力系统]]

: <math>\frac{ dx }{ dt } = X(x,y),</math>
: <math>\frac{ dy }{ dt } = Y(x,y)</math> 
如果存在<math>\varphi ( x,y) </math>使得

:<math>\frac{ \partial (\varphi X) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi Y) }{ \partial y } \ne 0</math>

在研究区域（必须是[[单连通]]的）上[[几乎处处]]成立，那么这个动力系统不存在[[周期函数|周期解]]。所谓“几乎处处成立”是指不成立的点的集合是一个测度为零的集合。这个定理可以用[[格林定理]]证出。 

== 证明 ==
运用[[反证法]]，假设研究区域为单连通的区域 <math>D</math>，其内存在对于动力系统：
: <math>\frac{ dx }{ dt } = X(x,y),</math>
: <math>\frac{ dy }{ dt } = Y(x,y)</math> 
的一组周期解<math>(x,y)</math>，其周期为<math>T</math>，那么对于
:<math>\Gamma : x = x(t) \, \ y = y(t) \, \ 0 \le t \le T</math>
所围成的区域<math>D_{\Gamma} \subset D</math>，有
:<math>\iint_{D_{\Gamma}} \, (\frac{ \partial (\varphi X) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi Y) }{ \partial y }) dx\,dy = \int_{\Gamma} \, \varphi(Xdy - Ydx)</math>
:<math>=\int_0^T \, \varphi (X \frac{ dy }{ dt } - Y\frac{ dx }{ dt })dt = \int_0^T \, \varphi (XY - YX)dt = 0</math>

但是由于使得 <math>\frac{ \partial (\varphi X) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi Y) }{ \partial y } = 0</math> 的点 <math>(x,y)</math> 的集合是一个测度为零的集合，所以总可以找到 <math>\varphi</math> 使得<math>\frac{ \partial (\varphi X) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi Y) }{ \partial y } </math>在零点之外不变号。这样<math>\iint_{D_{\Gamma}} \, (\frac{ \partial (\varphi X) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi Y) }{ \partial y }) dx\,dy</math>不可能为0，矛盾！

因此周期解不存在，定理得证。

== 参见 ==
* [[极限环]]
* [[庞加莱回归]]

== 参考资料 ==
* 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松，《常微分方程》（第三版），297页，高等教育出版社。
* MICHAL FECKAN,''A GENERALIZATION OF BENDIXSON'S CRITERION''，Proceedings of The
American Mathematical Society, Volume 129, Number 11, Pages 3395-3399,S 0002-9939(01)06107-X, 
Article electronically published on April 25, 2001[http://www.ams.org/proc/2001-129-11/S0002-9939-01-06107-X/S0002-9939-01-06107-X.pdf]

[[Category:微分方程]]
[[Category:数学定理|B]]