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{{noteTA|G1=Physics}}
在[[電磁學]]裏，為了要應用宏观馬克士威方程組，必須分別找到<math>\mathbf{D}</math>場與<math>\mathbf{E}</math>場之間，和<math>\mathbf{H}</math>場與<math>\mathbf{B}</math>場之間的關係。這些稱為本構關係的物理性質，設定了束縛電荷和束縛電流對於外場的響應。它們實際地對應於，一個物質響應外場作用而產生的[[電極化]]或[[磁化強度|磁化]]。<ref name="Zangwill2013">{{cite book|author=Andrew Zangwill|title=Modern Electrodynamics|url=https://archive.org/details/modernelectrodyn0000zang|year=2013|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-89697-9}}</ref>{{rp|44-45}}

本構關係式的基礎建立於<math>\mathbf{D}</math>場與<math>\mathbf{H}</math>場的定義式：
:<math>\mathbf{D}(\mathbf{r}, t)\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{P}(\mathbf{r}, t)</math>、
:<math>\mathbf{H}(\mathbf{r}, t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) - \mathbf{M}(\mathbf{r}, t)</math>；

其中，<math>\mathbf{P}</math>是電極化強度，<math>\mathbf{M}</math>是磁化強度。

本構關係式的一般形式為
:<math>\mathbf{D}=\mathbf{D}(\mathbf{E}, \mathbf{B})</math>、
:<math>\mathbf{H}=\mathbf{H}(\mathbf{E}, \mathbf{B})</math>。

在解釋怎樣計算電極化強度與磁化強度之前，最好先檢視一些特別案例。

== 自由空間案例 ==
假設，在[[自由空間]]（即理想[[真空]]）裏，就不用考慮介電質和磁化物質，本構關係式變得很簡單：<ref name=Jackson>{{citation|last=Jackson|first=John David|title=Classical Electrodynamic|publisher = John Wiley & Sons, Inc. |year=1999|location=USA|edition=3rd.|isbn=978-0-471-30932-1}}</ref>{{rp|2}}
:<math>\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E}</math>、
:<math>\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0</math>。

將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組，則得到的方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在自由空間裏，沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流。

== 線性物質案例 ==
對於[[線性關係|線性]]、[[各向同性]]物質，本構關係式也很直接：
:<math>\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}</math>、
:<math>\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu</math>；

其中，<math>\varepsilon</math>是物質的[[電容率]]，<math>\mu</math>是物質的[[磁導率]]。

將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組，可以得到方程組
{| class="wikitable"
|+對於線性、各向同性物質的表述
|-
! 名稱
! [[微分]]形式
! [[積分]]形式
|-
|[[高斯定律]]
| <math>\nabla \cdot(\varepsilon \mathbf{E}) =\rho_f</math>
|<math>\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset(\varepsilon \mathbf{E})\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = Q_f</math>
|-
| [[高斯磁定律]]
| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>
| <math>\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = 0</math>
|-
| 馬克士威-法拉第方程<br />([[法拉第电磁感应定律]])
| <math>\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>
| <math>\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= - \frac {\mathrm{d} \Phi_{\mathbf{B}}}{\mathrm{d} t} </math>
|-
| [[安培定律]]<br />(含馬克士威加法)
| <math>\nabla \times (\mathbf{B}/\mu) = \mathbf{J}_f + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math>
| <math>\oint_{\mathbb{L}}\ (\mathbf{B}/\mu) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= I_f + \frac {\mathrm{d} \Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}}{\mathrm{d} t}</math>
|}

除非這物質是均勻物質，不能從微分式或積分式內提出電容率和磁導率。通量<math>\Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}</math>的方程式為
:<math>\Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}=\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\varepsilon\mathbf{E} \cdot\mathrm{d}\mathbf{s}</math>。

這方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，自由空間的電容率和磁導率分別被物質的電容率和磁導率替代；還有，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在均勻物質內部，沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流，雖然由於不連續性，可能在表面會有面束縛電荷、面束縛電流或面極化電流。

== 一般案例 ==
對於實際物質，本構關係並不是簡單的線性關係，而是只能近似為簡單的線性關係。從<math>\mathbf{D}</math>場與<math>\mathbf{H}</math>場的定義式開始，要找到本構關係式，必需先知道電極化強度和磁化強度是怎樣從電場和磁場產生的。這可能是由實驗得到（建立於直接測量），或由推論得到（建立於[[统计力学|統計力學]]、[[傳輸力學]]（{{lang|en|transport phenomena}}）或其它[[凝聚態物理學]]的理論）。所涉及的細節可能是宏观或微觀的。這都要視問題的層級而定。

雖然如此，本構關係式通常仍舊可以寫為
:<math>\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}</math>、
:<math>\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu</math>。

不同的是，<math>\varepsilon</math>和<math>\mu</math>不再是簡單常數，而是[[函数|函數]]。例如，
*[[色散]]或[[吸收 (光學)|吸收]]：<math>\varepsilon</math>和<math>\mu</math>是[[頻率 (物理學)|頻率]]的函數。[[因果系統|因果論]]不允許物質具有非色散性，例如，[[克拉莫-克若尼關係式]]。場與場之間的相位可能不同相，這導致<math>\varepsilon</math>和<math>\mu</math>為複值，也導致[[電磁波]]被物質吸收。<ref name=Jackson/>{{rp|330-335}}
*[[非線性光學|非線性]]：<math>\varepsilon</math>和<math>\mu</math>都是電場與磁場的函數。例如，[[克爾效應]]<ref>{{cite journal|author=Weinberger, P. |title=John Kerr and his Effects Found in 1877 and 1878 |journal=Philosophical Magazine Letters |volume=88 |issue=12 |pages=897–907 |url=http://www.computational-nanoscience.de/Weinberger/Famous-Papers/PML-2008.pdf |doi=10.1080/09500830802526604 |year=2008 |bibcode=2008PMagL..88..897W |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110718214456/http://www.computational-nanoscience.de/Weinberger/Famous-Papers/PML-2008.pdf |archivedate=2011-07-18 }}</ref>和[[波克斯效應]]（{{lang|en|Pockels effect}}）。
*[[各向異性]]：例如，[[雙折射]]或[[二向色性]]（{{lang|en|dichroism}}）。<math>\varepsilon</math>和<math>\mu</math>都是[[張量|二階張量]]<ref name=Bianisotropy/>：
::<math>D_i = \sum_j \epsilon_{ij} E_j </math>、
::<math>B_i = \sum_j \mu_{ij} H_j</math>。
*[[雙耦合各向同性]]（{{lang|en|Bi-isotropy}}）或[[雙耦合各向異性]]（{{lang|en|Bi-anisotropy}}）：在雙耦合各向同性物質裏，<math>\mathbf{D}</math>場與<math>\mathbf{H}</math>場分別各向同性地耦合於<math>\mathbf{E}</math>場與<math>\mathbf{B}</math>場<ref name=Bianisotropy>通常，物質都具有雙耦合各向異性。{{cite book |author= TG Mackay and A Lakhtakia  |publisher=World Scientific  |title=Electromagnetic Anisotropy and Bianisotropy: A Field Guide|pages=pp. 7-11  |year=2010}}</ref>：
::<math>\mathbf{D}=\epsilon  \mathbf{E}+\xi  \mathbf{H}</math>、
::<math>\mathbf{B}= \mu  \mathbf{H} + \zeta  \mathbf{E}</math>；

:其中，<math>\xi</math>與<math>\zeta</math>是耦合常數，每一種介質的内禀常數。

:在雙耦合各向異性物質裏，<math>\mathbf{D}</math>場與<math>\mathbf{H}</math>場分別各向異性地耦合於<math>\mathbf{E}</math>場與<math>\mathbf{B}</math>場，係數<math>\epsilon</math>、<math>\mu</math>、<math>\xi</math>、<math>\zeta</math>都是[[張量]]。

*在不同位置和時間，<math>\mathbf{P}</math>場與<math>\mathbf{M}</math>場分別跟<math>\mathbf{E}</math>場、<math>\mathbf{B}</math>場有關：這可能是因為「空間不勻性」。例如，一個磁鐵的[[磁畴|域結構]]、[[異質結|異質結構]]或[[液晶]]，或最常出現的狀況是多種材料占有不同空間區域。這也可能是因為隨時間而改變的物質或[[磁滯現象]]。對於這種狀況，<math>\mathbf{P}</math>場與<math>\mathbf{M}</math>場計算為<ref name="Halevi">{{citation| last = Halevi | first = Peter| title = Spatial dispersion in solids and plasmas | publisher = North-Holland | date = 1992 | location = Amsterdam | isbn = 978-0444874054 }}</ref><ref name=Jackson/>{{rp|14}}
::<math>\mathbf{P}(\mathbf{r}, t) = \varepsilon_0 \int d^3 \mathbf{r}' d t'\;
\chi_{\mathrm{e}} (\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{E})\, \mathbf{E}(\mathbf{r}', t')</math>、
::<math>\mathbf{M}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{\mu_0} \int d^3 \mathbf{r}' d t' \;
\chi_{\mathrm{m}} (\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{B})\, \mathbf{B}(\mathbf{r}', t')</math>；

:其中，<math>\chi_{\mathrm{e}}</math>是[[電極化率]]，<math>\chi_{\mathrm{m}}</math>是[[磁化率]]。

實際而言，在某些特別狀況，一些物質性質給出的影響微乎其微，這允許物理學者的忽略。例如，在低場強度狀況，光學非線性性質可以被忽略；當頻率局限於狹窄[[頻寬]]內時，色散不重要；對於能夠穿透物質的波長，物質吸收可以被忽略；對於微波或更長波長的電磁波，有限[[電導率]]的[[金屬]]時常近似為具有無窮大電導率的[[完美導體|完美金屬]]（{{lang|en|perfect metal}}），形成電磁場穿透的[[趨膚效應|趨膚深度]]為零的硬障礙。

隨著[[材料科学|材料科學]]的進步，材料專家可以設計出具有特定的電容率或磁導率的新材料，像[[光子晶體]]。

== 本構關係的演算 ==
通常而言，感受到局域場施加的[[勞侖茲力]]，介質的分子會有所響應，從相關的理論計算，可以得到這介質的本構關係式。除了勞侖茲力以外，可能還需要給出其它作用力的理論模型，像涉及晶體內部晶格振動的鍵作用力，將這些作用力納入考量，一併計算。

在介質內部任意分子的位置<math>\mathbf{r}</math>，其鄰近分子會被電極化和磁化，從而造成其局域場會與外場或宏观場不同。更詳盡細節，請參閱[[克勞修斯-莫索提方程式]]。真實介質不是連續性物質，其局域場在原子尺度的變化相當劇烈，必需經過空間平均，才能形成連續近似。

這連續近似問題時常需要某種[[量子力學]]分析，像應用於[[凝聚態物理學]]的[[量子场论|量子場論]]。請參閱[[密度泛函理論]]和[[格林-庫波關係式]]（{{lang|en|Green–Kubo relations}}）等等案例。物理學者研究出許多近似傳輸方程式，例如，[[波茲曼傳輸方程式]]（{{lang|en|Boltzmann transport equation}}）、[[佛克耳-普朗克方程式]]（{{lang|en|Fokker–Planck equation}}）和[[納維-斯托克斯方程式]]。這些方程式已經廣泛地應用於[[流體動力學]]、[[磁流體力學]]、[[超導現象]]、[[等離子模型]]（{{lang|en|plasma modeling}}）等等學術領域。一整套處理這些艱難問題的物理工具已被成功地發展出來。另外，從處理像[[礫岩]]（{{lang|en|conglomerate}}）或[[疊層材料]]（{{lang|en|laminate}}）一類物質的傳統方法演變出來的「均質化方法」，是建立於以「均質有效介質」來近似「非均質介質」的方法<ref name=Aspnes>Aspnes, David E., "Local-field effects and effective-medium theory: A microscopic perspective," ''Am. J. Phys.'' '''50''', p. 704-709 (1982).</ref>。當激發波長超大於非均質性的尺度時，這方法正確無誤<ref name= Zienkiewicz>
{{cite book
|author=O. C. Zienkiewicz, Robert Leroy Taylor, J. Z. Zhu, Perumal Nithiarasu
|title=The Finite Element Method
|url=https://archive.org/details/finiteelementmet00zien_719
|year=2005
|edition=Sixth
|page=[https://archive.org/details/finiteelementmet00zien_719/page/n566 550] ff
|publisher=Butterworth-Heinemann
|location=Oxford UK
|isbn=0750663219
}}</ref><ref>N. Bakhvalov and G. Panasenko, ''Homogenization: Averaging Processes
in Periodic Media'' (Kluwer: Dordrecht, 1989); V. V. Jikov, S. M. Kozlov and O. A. Oleinik, ''Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals'' (Springer: Berlin, 1994).</ref><ref name=Felsen>
{{cite journal
 |title       = Multiresolution Homogenization of Field and Network Formulations for Multiscale Laminate Dielectric Slabs
 |author      = Vitaliy Lomakin, Steinberg BZ, Heyman E, & Felsen LB
 |volume      = 51
 |issue       = 10
 |year        = 2003
 |pages       = 2761 ff
 |url         = http://www.ece.ucsd.edu/~vitaliy/A8.pdf
 |journal     = IEEE Transactions on Antennas and Propagation
 |doi         = 10.1109/TAP.2003.816356
 |bibcode     = 2003ITAP...51.2761L
 |deadurl     = yes
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 |archivedate = 2012-05-14
}}</ref>。

理論得到的答案必須符合實驗測量的數據。許多真實物質的連續近似性質，是靠著實驗測量而得到的<ref name=Palik>
{{citation
 |author=Edward D. Palik & Ghosh G
 |title=Handbook of Optical Constants of Solids
 |year= 1998
 |pages=pp. 1114
 |publisher=Academic Press
 |location=London UK
 |isbn=0125444222 }}</ref>。例如，應用[[橢圓偏振技術]]得到的薄膜的介電性質。

==參考文獻==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:B}}
[[分類:物質內的電場和磁場]]
[[Category:电动力学]]