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{{NoteTA|G1=物理學|1=zh-cn:准;zh-tw:準
}}
'''朗道量子化'''是指均匀磁场中带电粒子的回旋轨道发生的量子化。这些带电粒子能量在一系列分立的数值中取值，形成朗道能级。朗道能级是[[简并能级|简并的]]，每一能级上电子的电子数量与外加磁场的强度成正比<ref name="黄昆">{{cite book|author1=黄昆|author2=韩汝琦|title=《固体物理学》|url=https://archive.org/details/isbn_9787040010251|location=北京|publisher=高等教育出版社|isbn=978-7-04-001025-1|pages=[https://archive.org/details/isbn_9787040010251/page/n274 255]-274|language=zh-cn|ref={{harvid|黄昆|韩汝琦|1988}}}}</ref>{{rp|267}}。由朗道量子化可以得出外磁场会导致材料中电子性质的振荡<ref name="黄昆"/>。这一理论是由苏联物理学家[[列夫·朗道]]于1930年提出的<ref>{{cite journal|last=Landau|first=L. D.|title=Diamagnetismus der metalle|journal=Zeitschrift für Physik|year=1930|volume=64|issue=9-10|pages=629-637|language=de|doi=10.1007/BF01397213|url=http://link.springer.com/article/10.1007/BF01397213#page-1|access-date=2016-01-15|archive-date=2019-05-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20190502100943/https://link.springer.com/article/10.1007/BF01397213#page-1|dead-url=no}}</ref>。

==推导==
朗道量子化可以通过准经典的方法部分导出<ref name="黄昆"/>{{rp|255-258}}。这里采用[[量子力学]]的方法进行推导：

考虑一个带电粒子组成的二维-{系统}-。这些粒子无内部相互作用，所带电荷为{{mvar|q}}，自旋量子数为{{mvar|S}}，并被限制在{{math|''x-y''}}平面内一个面积{{math|''A'' {{=}} ''L<sub>x</sub>L<sub>y</sub>''}}的区域内。

对这一系统施加一个沿{{mvar|z}}轴的均匀磁场<math>\mathbf{B} = \begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}</math>。由于自旋对于这个二维系统没有影响<ref>{{cite book|author1= Л·Д·朗道|author2=Е·М·栗弗席兹|author3=严肃（译）|author4=喀兴林（校）|title=《理论物理学教程第三卷·量子力学（非相对论理论）》|location=北京|publisher=高等教育出版社|isbn=978-7-04-024306-2|pages=416-420|language=zh-cn}}</ref>，因而在下面的推导中将忽略自旋。在[[厘米-克-秒制|CGS]]单位制下，这个系统的[[哈密顿算符]]为：
:<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}(\hat{\mathbf{p}}-q\hat{\mathbf{A}}/c)^2.</math>
式中<math>\mathbf{p}</math>为[[正则坐标|正则]][[动量算符]]，<math>\hat{\mathbf{A}}</math>为磁场的[[磁矢势]]，与[[磁感应强度]]的关系为：
:<math>\mathbf{B}=\mathbf{\nabla}\times \hat{\mathbf{A}}. \, </math>

给定磁场的磁矢势具有一定的规范自由度。当<math>\hat{\mathbf{A}}</math>被添加一个[[标量场]]的[[梯度]]时，[[波函数]]的整体相位也会随着标量场产生一定的变化，但由于哈密顿算符具有[[规范不变性]]，系统的物理性质并不受选定的规范影响。为了简便计算，这里选择{{le|朗道规范|Landau gauge}}： 
:<math>\hat{\mathbf{A}}=
\begin{pmatrix}0\\Bx \\0
\end{pmatrix}.</math>
式中{{mvar|B}}=|'''B'''|，''x''为位置算符{{mvar|x}}方向上的分量。

在这一规范下，系统的哈密顿算符为：
:<math>\hat{H} = \frac{\hat{p}_x^2}{2m} + \frac{1}{2m} \left(\hat{p}_y - \frac{qB\hat{x}}{c}\right)^2.</math>
算符<math>\hat{p}_y</math>与这一哈密顿算符是[[对易]]的。这是因为在选定规范时，算符<math>\hat{y}</math>被忽略掉了，因而算符<math>\hat{p}_y</math>可被它的本征值{{math|''ħk<sub>y</sub>''}}替代。

如果设定[[回旋共振|回旋频率]]{{math|''ω<sub>c</sub> {{=}} qB/m''}}，那么可以得出此时哈密顿算符为：
:<math>\hat{H} = \frac{\hat{p}_x^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_c^2 \left( \hat{x} - \frac{\hbar k_y}{m\omega_c} \right)^2.</math>
这与[[量子谐振子]]的哈密顿算符基本一致，但势能的最小值需要在[[位置空间与动量空间|位置表象]]中移动{{math|''x''<sub>0</sub> {{=}} ''ħk<sub>y</sub>/mω<sub>c</sub>''}}。

注意到谐振子势能的平移并不会影响到系统的能量，也就是说这一系统的能量与标准的量子谐振子一致：
:<math>E_n=\hbar\omega_c\left(n+\frac{1}{2}\right),\quad n\geq 0~. </math>
由于能量与量子数{{math|''k<sub>y</sub>''}}无关，因而会存在一定的[[简并态]]。

由于<math>\hat{p}_y</math>与哈密顿算符是对易的，因而系统的波函数可以表示为{{mvar|y}}方向上动量的本征值与谐振子[[本征态|本征矢]]<math>|\phi_n\rangle</math>的乘积，但<math>|\phi_n\rangle</math>也需要在{{mvar|x}}方向上移动{{mvar|x}}<sub>0</sub>，即：
:<math>\Psi(x,y)=e^{ik_y y} \phi_n(x-x_0)~. </math>

总之，电子的状态可以通过{{mvar|n}}与{{math|''k<sub>y</sub>''}}这两个量子数表征。

==朗道能级==
朗道量子化所造成的效应只能在平均内能小于能级间差值，即{{math|''kT ≪ ħω<sub>c</sub>''}}时才能被观测到。简单来说就是温度较低，外磁场较强。

每个朗道能级都具有一定的简并度，因为量子数{{math|''k<sub>y</sub>''}}的取值情况为：
:<math>k_y = \frac{2 \pi N}{L_y}</math>, 
式中{{mvar|N}}为整数。{{mvar|N}}所允许的取值受到振子的运动中心坐标{{math|''x<sub>0</sub>''}}的影响。振子的运动必须在系统范围内，也就是说{{math|0 ≤ ''x<sub>0</sub> < L<sub>x</sub>''}}。这给出了{{mvar|N}}的取值范围：
:<math>0 \leq N < \frac{m \omega_c L_x L_y}{2\pi\hbar}.</math>

对于带电量{{math|''q'' {{=}} ''Ze''}}的粒子来说，{{mvar|N}}的上限可以表记为[[磁通量]]的比值：
:<math>\frac{Z B L_x L_y}{(hc/e)} = Z\frac{\Phi}{\Phi_0},</math>
式中{{math|'' Φ<sub>0</sub> {{=}} h/e''}}为磁通量的基本量子，{{math|''Φ {{=}} BA''}}是系统的磁通量，面积{{math|''A'' {{=}} ''L<sub>x</sub>L<sub>y</sub>''}}。

因而对于自旋为{{mvar|S}}的粒子，每个朗道能级的简并度的最大值{{mvar|D}}为：
:<math>D = Z (2S+1) \frac{\Phi}{\Phi_0}~.</math>

上述讨论只是在有限尺度内给出的粗略的结果，严格来说，谐振子解只对在{{mvar|x}}方向上不受限的系统有效，如果系统尺度{{math|''L<sub>x</sub>''}}是有限的，那个方向上的束缚态条件会导致磁场中的非标准量子化情况。原则上，两个都是[[埃尔米特多项式|埃尔米特方程的解]]。多电子对于朗道能级的填充仍是研究热点之一<ref>{{Cite journal | doi = 10.1016/S0921-4526(00)00769-9| title = A new approach to the ground state of quantum Hall systems. Basic principles| journal = Physica B: Condensed Matter| volume = 299| pages = 6| year = 2001| last1 = Mikhailov | first1 = S. A.|language=en }}</ref>。

一般来说，朗道能级可以在电子系统中被观察到，其中{{mvar|Z}}=1，{{mvar|S}}=1/2。随着磁场增强，越来越多的电子会占据朗道能级。最高的朗道能级的占据情况会导致多种电子性质振荡，如[[德哈斯-范阿尔芬效应]]及[[舒布尼科夫-德哈斯效应]]。

如果考虑到[[塞曼效应]]的话，那么每个朗道能级都会分裂为一对能级：一个为自旋向上的电子占据的能级，一个是自旋向下的电子占据的能级。此时每个自旋朗道能级的简并度就会是磁通量的比率：{{mvar|D}} =   {{math|''Φ/Φ<sub>0</sub>''}}。两个能级与分裂前的能级间隔是相同的：{{math| 2''μ<sub>B</sub>B'' {{=}} ''ħω'' }}。然而在多个能级被占满时，系统的[[费米能]]与基态的能量却是大致相同的，因为塞曼效应造成的影响，在这些能级相加时会被抵消掉。

==讨论==
在上面的推导过程中，{{mvar|x}}与{{mvar|y}}似乎并不对称。然而，考虑到系统的对称性，并没有物理量能表征这两个坐标的区别。在对{{mvar|x}}与{{mvar|y}}进行适当的内部变换后，可以得到相同的结果。

此外，上述推导中电子在{{mvar|z}}方向上运动受限的情形尽管在实验中确实存在，如[[费米气体|二维电子气]]。但这一假设并不基本。如果电子在{{mvar|z}}方向上可以自由移动，那么波函数还需要乘以一个因子exp({{math|''ik<sub>z</sub>z''}})，能量对应地需要加上{{math|(''ħ k<sub>z</sub>'')<sup>2</sup>/(''2m'')}}。这一项会“填入”能级间隙，从而减小量子化的效果。但在垂直于磁场的平面{{mvar|x}}-{{mvar|y}}上的运动仍是量子化的。

==对称规范中的朗道能级==
选定对称规范：
:<math>\hat{\mathbf{A}} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -By\\ Bx \\0 \end{pmatrix}</math>

对于哈密顿算符进行去[[量纲]]化：

:<math>\hat{H} = \frac{1}{2} \left[\left(-i\frac{\partial}{\partial x} - \frac{y}{2}\right)^2 + \left(-i \frac{\partial}{\partial y} + \frac{x}{2}\right)^2 \right] </math>

实际值可以通过引入<math>q</math>、<math>c</math>、<math>\hbar</math>、<math>\mathbf{B}</math>及<math> m </math>等常数得出。

引入算符

:<math>\hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\left(\frac{x}{2} + \frac{\partial}{\partial x}\right) -i \left(\frac{y}{2} + \frac{\partial}{\partial y}\right)\right]</math>

:<math>\hat{a}^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\left(\frac{x}{2} - \frac{\partial}{\partial x}\right) +i \left(\frac{y}{2} - \frac{\partial}{\partial y}\right)\right]</math>

:<math>\hat{b} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\left(\frac{x}{2} + \frac{\partial}{\partial x}\right) +i \left(\frac{y}{2} + \frac{\partial}{\partial y}\right)\right]</math>

:<math>\hat{b}^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\left(\frac{x}{2} - \frac{\partial}{\partial x}\right) -i \left(\frac{y}{2} - \frac{\partial}{\partial y}\right)\right]</math>

这些算符的对易关系为：

:<math>[\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}] = [\hat{b},\hat{b}^{\dagger}] = 1</math>.

哈密顿算符可记为：

:<math> \hat{H} = \hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2}</math>

朗道能级序数<math>n</math>是<math>\hat{a}^{\dagger}\hat{a}</math>的本征值。

角动量{{mvar|z}}方向上的分量为：

:<math>\hat{L}_z = -i \hbar \frac{\partial}{\partial \theta} = - \hbar (\hat{b}^{\dagger}\hat{b} - \hat{a}^{\dagger}\hat{a})</math>

利用其与哈密顿算符可对易，即<math>[\hat{H}, \hat{L}_z] = 0</math>，我们选定<math>\hat{L}_z</math>的本征值<math>- m \hbar</math>为使<math>\hat{H}</math>与 <math>\hat{L}_z</math>对角化的本征函数。易见，在第<math>n</math>个朗道能级上存在<math>m \ge -n</math>。然而<math>m</math>的值可能非常大。在下面将推导系统表现出的有限简并度。

使用<math>\hat{b}^{\dagger}</math>可以使<math>m</math>减小一个单位同时使<math>n</math>保持不变，而<math>\hat{a}^{\dagger}</math>则可以使<math>n</math>增大一个单位，同时令<math>m</math>减小一个单位。类比量子谐振子，可以得到：

:<math>\hat{H} |n,m\rangle = E_n |n,m\rangle </math>

:<math>E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)</math>

:<math>|n,m\rangle = \frac{(\hat{b}^{\dagger})^{m+n}}{\sqrt{(m+n)!}} \frac{(\hat{a}^{\dagger})^{n}}{\sqrt{n!}}|0,0\rangle </math> 
     
在朗道规范与对称规范下，每个朗道能级上的简并轨道分别以量子数{{math|''k<sub>y</sub>''}}及<math>m</math>表征，每个朗道能级上单位面积的简并度是相同的。

可以证明选定下面这个波函数时，也可以得到上面得到的结果：

:<math>\psi_{n,m}(x, y) = \left( \frac{\partial}{\partial w} - \frac{\bar{w}}{4} \right)^n w^{n + m} e^{-|w|^2 / 4}</math>

式中<math>w = x + i y</math>。

特别地，对于最低的朗道能级，即<math>n = 0</math>时，波函数为任意一个[[解析函数]]与[[高斯函数]]的乘积：<math>\psi(x,y) = f(w) e^{-|w|^2/4}</math>。

==规范变换的影响==
进行这样的规范变换：
:<math>\vec{A} \to \vec{A}' = \vec{A} + \vec{\nabla} \lambda(\vec{x}) </math>

运动学动量的定义为：

:<math>\hat{\pi} = \hat{\mathbf{p}}-q\hat{\mathbf{A}}/c </math>

式中<math>\hat{\mathbf{p}}</math>为正则动量。哈密顿算符是规范不变的，因而<math>\langle\hat{\pi}\rangle</math>与<math>\langle \hat{x}\rangle</math>也会在规范变换后保持不变，但<math>\langle\hat{\mathbf{p}}\rangle</math>会受到规范变换的影响。

为了考察规范变换带来的影响，设磁矢势为<math>A</math>与<math>A'</math>时的量子态为<math>|\alpha\rangle</math>与<math>|\alpha'\rangle</math>。

由于<math>\langle \hat{x}\rangle</math>和<math>\langle\hat{\pi}\rangle</math>是规范不变的，可以得到：
:<math>\langle\alpha|\hat{x}|\alpha\rangle = \langle\alpha'|\hat{x}|\alpha'\rangle</math>

:<math>\langle\alpha|\hat{\pi}|\alpha\rangle = \langle\alpha'|\hat{\pi'}|\alpha'\rangle</math>

:<math>\langle\alpha|\alpha\rangle = \langle\alpha'|\alpha'\rangle</math>

设算符<math>\mathcal{G}</math>会使<math>|\alpha'\rangle = \mathcal{G} |\alpha\rangle </math>，则：
:<math>\mathcal{G}^{\dagger}\hat{x}\mathcal{G} = \hat{x}</math>

:<math>\mathcal{G}^{\dagger}\left(\hat{p} - \frac{e\hat{A}}{c} - \frac{e\vec{\nabla} \lambda(x)}{c}\right)\mathcal{G} = \hat{p} - \frac{e\hat{A}}{c}</math>

:<math>\mathcal{G}^{\dagger}\mathcal{G} = 1</math>

综上所述：

:<math>\mathcal{G} = \exp\left(\frac{ie\lambda(\vec{x})}{\hbar c}\right)</math>

==参考文献==
{{reflist}}

==参见==
{{portal box|物理學}}

*[[巴克豪森效应]]
*[[量子霍尔效应]]
*{{le|劳夫林波函数|Laughlin wavefunction}}

[[Category:量子力学]]
[[Category:凝聚体物理学]]