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{{Refimprove|time=2022-01-24T13:04:26+00:00}}
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|G1 = math
}}
[[泛函分析]]中，'''有限秩算子'''（{{lang-en|Finite-rank operator}}）是[[巴拿赫空间]]之间，[[像 (數學)|像]]的维数有限的[[有界线性算子]]。<ref>{{cite web|url=https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/finite-rank-operator|title=Finite Rank Operator - an overview|date=2004|access-date=2022-01-24|archive-date=2022-03-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20220319161456/https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/finite-rank-operator}}</ref> 

==希爾伯特空間中==
=== 典範型 ===

有限秩算子類似有限大小的[[矩陣]]，但是放在無窮維空間中。於是，可藉[[線性代數]]技巧刻畫其性質。

由線性代數知，[[複數 (數學)|複]]矩陣<math>M \in \mathbb C^{n \times m}</math>之秩為1，當且僅當<math>M</math>可以寫成：
:<math>M = \alpha \cdot u v^* </math> 其中 <math> \|u \| = \|v\| = 1 </math> 且 <math>\alpha \geq 0</math>

同樣可證希氏空間<math>H</math>上，算子<math>T</math>之秩為1，當且僅當

:<math>T h = \alpha \langle h, v\rangle u \quad \forall h \in H ,</math>

其中<math>\alpha, u, v</math>與有限維情況滿足同等條件。由此，用[[數學歸納法]]，可證秩<math>n</math>的算子<math>T</math>必可寫成

:<math>T h =  \sum _{i = 1}  ^n \alpha_i \langle h, v_i\rangle u_i \quad \forall h \in H ,</math>

其中<math>\{u_i: i = 1, 2, \ldots, n\}</math>和<math>\{v_i:i = 1, 2, \ldots, n}\</math>皆為[[标准正交基]]。前述表示法實質等同於[[奇异值分解]]，可以稱為有限秩算子的「典範型」（{{lang|en|canonical form}}）。

略加推廣，若<math>n</math>改為[[可數無窮]]，而正實數列<math>\{ \alpha_i\}</math>僅[[极限点|會聚]]於0，則<math>T</math>為{{link-en|希爾伯特空間的緊算子|compact operator on Hilbert space|緊算子}}，相應的和式稱為緊算子的典範型。

若級數<math>\sum_i \alpha_i</math>（跡）收斂，則<math>T</math>是[[迹类算子]]。

===代數性質===
希氏空間<math>H</math>上，全體有限秩算子之族<math>F(H)</math>是[[C*-代數|有界算子代數]]<math>L(H)</math>的[[理想 (環論)|雙邊*理想]]。此外，其為此類（非零）理想中最小者，即<math>L(H)</math>的任何雙邊*理想<math>I</math>必包含全體有限秩算子。簡證如下：取非零算子<math>T \in I</math>，則有非零的<math>f, g</math>使<math>T f = g</math>。衹需證對任意<math>h, k \in H</math>，將<math>h</math>映至<math>k</math>的秩1算子<math>S_{h, k}</math>屬於<math>I</math>。同樣定義<math>S_{h, f}</math>和<math>S_{g, k}</math>，則有

:<math>S_{h,k} = S_{g,k} T S_{h,f}, \,</math>

從而<math>S_{h, k}</math>在<math>I</math>中，證畢。

<math>L(H)</math>的雙邊*理想舉例有[[迹类算子|跡類]]、[[希尔伯特-施密特算子]]類、[[紧算子]]類。三類各自配備[[範數]]，而<math>F(H)</math>在此三個賦範空間中[[稠密集|稠密]]。

由於<math>L(H)</math>的每個雙邊理想都包含<math>F(H)</math>，<math>L(H)</math>為[[單代數]]當且僅當有限維。

== 巴拿赫空間中 ==
[[巴拿赫空间]]<math>U, V</math>之間的有限秩算子<math>T:U\to V</math>是[[值域]]僅得有限維的[[有界算子]]。與希氏空間的情況一樣，可以寫成

:<math>T h =  \sum _{i = 1}  ^n \langle u_i, h\rangle v_i \quad \forall h \in U ,</math>

其中<math>v_i\in V</math>，但由於<math>U</math>中沒有定義內積，<math>u_i\in U'</math>換成<math>U</math>上的有界[[線性泛函]]。

有界線性泛函是有限秩算子的特例，其秩為1。

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

{{泛函分析}}
[[Category:算子理论]]