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{{NoteTA|G1=物理學}}
{{Refimprove|time=2019-06-10T15:53:09+00:00}}
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'''有限应变理论'''（finite strain theory）也稱為'''大應變理論'''或'''大形變理論'''，是[[连续介质力学]]中處理有較大應變或轉動的[[形變]]，已不符合[[无限小应变理论]]假設下的理論。此情形下，物體在未形變的組態及已形變的組態有明顯的不同。有限应变理论常用於[[弹性体]]、[[塑性變形]]材料、[[流体]]及[[生物学|生物]][[軟組織]]。

==位移場==
{{excerpt|位移場#位移分量}}
==位移梯度張量==
[[File:Deformation.png|upright=1.4|thumb|連續體的形變]]

'''位移梯度張量'''（deformation gradient tensor）<math>\mathbf F(\mathbf X,t) = F_{jK} \mathbf e_j \otimes \mathbf I_K</math>和形變前的組態以及目前的組態有關，可以從單位向量<math>\mathbf e_j</math>和<math>\mathbf I_K\,\!</math>中看出，因此其為{{le|二點張量|two-point tensor}}。

可以定義二種位移梯度張量。

假設<math>\chi(\mathbf X,t)\,\!</math>有連續性，則<math>\mathbf F</math>存在逆元素<math>\mathbf H = \mathbf F^{-1}\,\!</math>，其中<math>\mathbf H</math>為'''空間位移梯度張量'''（spatial deformation gradient tensor）。 根據[[隐函数定理]]<ref name=Lubliner2008>{{cite book
 |last = Lubliner
 |first = Jacob
 |title = Plasticity Theory
 |publisher = Dover Publications
 |year = 2008
 |url = http://www.ce.berkeley.edu/~coby/plas/pdf/book.pdf
 |isbn = 978-0-486-46290-5
 |url-status = dead
 |archive-url = https://web.archive.org/web/20100331022415/http://www.ce.berkeley.edu/~coby/plas/pdf/book.pdf
 |archive-date = 2010-03-31
|edition = Revised
 }}</ref>，其[[雅可比矩阵|雅可比判別式]]<math>J(\mathbf X,t)</math>是[[代數曲線#奇點|非奇點]]，也就是<math>J(\mathbf X,t) = \det \mathbf F(\mathbf X,t) \neq 0</math>。

'''物質位移梯度張量'''（material deformation gradient tensor）<math>\mathbf F(\mathbf X,t) = F_{jK} \mathbf e_j\otimes\mathbf I_K</math>表示映射函數或是泛函關係<math>\chi(\mathbf X,t)\,\!</math>梯度的二維張量（
映射函數或是泛函關係<math>\chi(\mathbf X,t)\,\!</math>描述連續介質的運動）。材料位移梯度張量可以說明位置向量為<math>\mathbf X\,\!</math>的物質點的局部形變（也就是相對鄰近點的形變），其作法是對一個點的物質線元素進行[[线性映射]]，從原始組態映射到形變後的組態，其中也是假設映射函數<math>\chi(\mathbf X,t)\,\!</math>的連續性，也就是其為<math> \mathbf {X} </math>和時間<math>t\,\!</math>的[[可微函数]]，也就是其形變不會讓crack或是void打開或是關閉。因此可得
<math display="block"> \begin{align}
    d\mathbf{x} &= \frac {\partial \mathbf{x}} {\partial \mathbf {X}}\,d\mathbf{X}
                  \qquad &\text{or}& \qquad
    dx_j =\frac{\partial x_j}{\partial X_K}\,dX_K \\
                &= \nabla \chi(\mathbf X,t) \,d\mathbf{X}
                  \qquad &\text{or}& \qquad
    dx_j =F_{jK}\,dX_K \,. \\
    & = \mathbf F(\mathbf X,t) \,d\mathbf{X}
\end{align}</math>

==相關條目==
* [[无限小应变理论]]
* [[应变协调性]]
* {{link-en|曲線坐標|Curvilinear coordinates}}
<!--* [[Piola–Kirchhoff stress tensor]], the stress tensor for finite deformations.-->
* {{link-en|應力量測|Stress measures}}
* {{link-en|應變分區|Strain partitioning}}

==參考資料==
{{reflist}}

== 外部連結 ==
*[http://www.imechanica.org/node/3786 Prof. Amit Acharya's notes on compatibility on iMechanica] {{Wayback|url=http://www.imechanica.org/node/3786 |date=20200930192638 }}
{{連續介質力學}}
[[Category:张量]]
[[Category:连续介质力学]]
[[Category:非牛顿流体]]
[[Category:固体力学]]