查看“︁有限域”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
在[[数学]]中，'''有限域'''（{{lang-en|'''finite field'''}}）或'''伽罗瓦域'''（{{lang-en|'''Galois field'''}}，为纪念[[埃瓦里斯特·伽罗瓦]]命名）是包含有限个[[元素 (數學)|元素]]的[[域 (數學)|域]]。与其他域一样，有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的[[集合 (数学)|集合]]。有限域最常见的例子是当 {{math|''p''}} 为素数时，整数对 {{math|''p''}} [[模除|取模]]。

有限域的元素个数称为它的'''[[阶 (群论)|阶]]'''。

有限域在许多数学和计算机科学领域的基础，包括[[数论]]、[[代数几何]]、[[伽羅瓦理論]]、[[有限幾何學]]、[[密码学]]和[[编码理论]]。

==定理 ==

* 有限域的阶（有限域中元素的个数）是一个[[素数]]的[[幂]]。
* 对于每个素数''p''和每个正整数''n''在同构的意义下存在惟一的<math>p^n</math>阶的有限域，并且所有元素都是方程 <math>x^{p^n}-x=0</math> 的根，该域的[[特征 (代数)|特征]]为''p''。
* 有限域的乘法群是[[循环群]]。即若''F''是有限體，则存在<math>\alpha\in F</math>使得<math>F^*=\{x\in F|x\neq0\}=\langle\alpha\rangle</math>。
* 有限域是[[完美域]]，即它的任何[[代数扩张]]一定是[[可分扩张]]。
* 有限域的[[有限扩张]]一定是[[伽罗瓦扩张]]，并且对应的[[伽罗瓦群]]是[[循环群]]。

==存在性與唯一性==
設 {{math|1=''q'' = ''p<sup>n</sup>''}} 為質數冪， {{math|''F''}} 為多項式
:<math>P=X^q-X</math>
於質數域 {{math|GF(''p'')}} 上的[[分裂域]]。換言之， {{math|''F''}} 是最低階的有限域，使得 {{math|''P''}} 在 {{math|''F''}} 內有 {{math|''q''}} 個互異的根（注意 {{math|''P''}} 的{{link-en|形式導數|formal derivative}}為 <math> -1  \neq 0</math> ，因此 {{math|''P''}} 無重根）。

利用[[二項式定理]]，可證恆等式
:<math id="powersum">(x+y)^p=x^p+y^p</math>
在特徵為 {{math|''p''}} 的域上成立（[[中一新生之夢]]）。此恆等式說明 {{math|''P''}} 任兩根之和或積仍為 {{math|''P''}} 的根。同時， {{math|''P''}} 的根的乘法逆元仍是根，因此 {{math|''P''}} 的根構成一個 {{math|''q''}} 階的域。由 {{math|''F''}} 的最小性，可知此域即為 {{math|''F''}}。

由於分裂域在同構意義下唯一， {{math|''q''}} 階域也在同構意義下唯一（已證其為 <math>P=X^q-X</math> 的分裂域）。而且，若域 {{mvar|F}} 有一個階為 <math>q=p^k</math> 的子域，則其元素恰為 <math>X^q-X</math> 的 {{mvar|q}} 個根，所以 {{mvar|F}} 不能包含另一個階為 {{mvar|q}} 的子域。

[[E·H·摩爾]]於 1893 年證明了以下的分類定理，可作為本節的總結：<ref name="moore">{{citation|first=E. H.|last=Moore|author-link=E. H. Moore|chapter=A doubly-infinite system of simple groups|editor=E. H. Moore |display-editors=etal |title=Mathematical Papers Read at the International Mathematics Congress Held in Connection with the World's Columbian Exposition|pages=208–242|publisher=Macmillan & Co.|year=1896}}</ref>

::''有限域的階為質數冪。對任意一個質數冪'' {{math|''q,''}} ''都存在'' {{math|''q''}} ''階的域，並且任意兩個 '' {{math|''q''}} '' 階的域都同構。該些域中，任意的元素 ''{{math|''x''}}'' 都滿足''
:::<math>x^q=x,</math>
::''且多項式'' {{math|''X<sup>q</sup>'' − ''X''}} ''可分解成'' 
:::<math>X^q-X= \prod_{a\in F} (X-a).</math>

由此可知，{{math|GF(''p<sup>n</sup>'')}} 有同構於 {{math|GF(''p<sup>m</sup>'')}} 的子域當且僅當 {{math|''m''}} 整除 {{math|''n''}}；該情況下，僅有唯一的子域與 {{math|GF(''p<sup>m</sup>'')}} 同構。多項式 {{math|''X<sup>p<sup>m</sup></sup>'' − ''X''}} 整除 {{math|''X<sup>p<sup>n</sup></sup>'' − ''X''}} 也是當且僅當 {{math|''m''}} 整除 {{math|''n.''}}

==弗羅貝尼烏斯自同構和伽羅瓦理論== 

設 {{math|''p''}} 為質數， {{math|1=''q'' = ''p''<sup>''n''</sup>}} 為質數冪。

在 {{math|GF(''q'')}} 中，恆等式 {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''p''</sup> = ''x<sup>p</sup>'' + ''y<sup>p</sup>''}} 說明映射
:<math> \varphi:x \mapsto x^p</math>
是 {{math|GF(''q'')}} 上 {{math|GF(''p'')}}-[[線性映射|線性]]的[[域自同構]]，其保持子域 {{math|GF(''p'')}} 的元素。該映射稱為[[弗罗贝尼乌斯自同态|弗罗贝尼乌斯自同構]]，得名於[[费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯]]。

記 {{math|''φ<sup>k</sup>''}} 為 {{math|''φ''}} 的 {{math|''k''}} 次疊代，則
:<math> \varphi^k:x \mapsto x^{p^k}.</math>
此前已證明 {{math|''φ<sup>n</sup>''}} 為恆同映射。若 {{math|0 < ''k'' < ''n''}}, 則自同構 {{math|''φ<sup>k</sup>''}} 並非恆同映射，否則多項式
:<math>X^{p^k}-X</math>
就有多於 {{math|''p<sup>k</sup>''}} 個根，矛盾。

此外 {{math|GF(''q'')}} 並無其他 {{math|GF(''p'')}}-自同構。換言之，{{math|GF(''p<sup>n</sup>'')}} 恰有 {{math|''n''}} 個 {{math|GF(''p'')}}-自同構，其為 
:<math>\mathrm{Id}=\varphi^0, \varphi, \varphi^2, \ldots, \varphi^{n-1}.</math>

以[[伽羅瓦理論]]觀之， {{math|GF(''p<sup>n</sup>'')}} 是 {{math|GF(''p'')}} 的[[伽羅瓦擴展]]，且其伽羅瓦群為[[循環群]]。

弗羅貝尼烏斯映射為滿射，因此任意一個有限域都是{{link-en|完美域|perfect field}}。

== 一些小型的有限域 ==
'''F'''<sub>2</sub>:

{|class="wikitable"
|-
|
{|class="wikitable"
|-
!+!!0!!1
|-
!0
|0||1
|-
!1
|1||0
|}
|
{|class="wikitable"
|-
!·!!0!!1
|-
!0
|0||0
|-
!1
|0||1
|}
|}

'''F'''<sub>3</sub>:

{|class="wikitable"
|-
|
{|class="wikitable"
|-
!+!!0!!1!!2
|-
!0
|0||1||2
|-
!1
|1||2||0
|-
!2
|2||0||1
|}
|
{|class="wikitable"
|-
!·!!0!!1!!2
|-
!0
|0||0||0
|-
!1
|0||1||2
|-
!2
|0||2||1
|}
|}

'''F'''<sub>4</sub>: 考虑<math> x^2+x+1 =0,</math> 方程的根不在'''F'''<sub>2</sub>中。記其中一根為''A'', 則<math> A^2+A+1 =0, </math>且另一根為
<math> B =A^2.</math>

{|class="wikitable"
|-
|
{|class="wikitable"
|-
!+!!0!!1!!''A''!!''B''
|-
!0
|0||1||''A''||''B''
|-
!1
|1||0||''B''||''A''
|-
!''A''
|''A''||''B''||0||1
|-
!''B''
|''B''||''A''||1||0
|}
|
{|class="wikitable"
|-
!·!!0!!1!!''A''!!''B''
|-
!0
|0||0||0||0
|-
!1
|0||1||''A''||''B''
|-
!''A''
|0||''A''||''B''||1
|-
!''B''
|0||''B''||1||''A''
|}
|}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
*《近世代数》

== 参见 ==
* [[域论]]
{{ModernAlgebra}}

{{DEFAULTSORT:Finite Field}}
[[Category:有限域]]