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{{No footnotes|time=2013-10-01T04:21:56+00:00}}
{{NoteTA|G1=Communication}}
在[[信號處理]]及[[控制理論]]中，'''有界輸入有界輸出穩定性'''簡稱'''BIBO穩定性'''，是一種針對有輸入信號[[線性系統]]的[[穩定性]]。BIBO是「有界輸入有界輸出」（Bounded-Input Bounded-Output）的簡稱，若系統有BIBO穩定性，則針對每一個有界的輸入，系統的輸出也都會有界，不會發散到無限大。

對於[[信號]]若存在有限的定值<math>B > 0</math>使得信號的振幅不會超過<math>B</math>，則此信號為有界的，也就是說
:<math>\ |y[n]| \leq B \quad \forall n \in \mathbb{Z}</math> 針對離散訊號，或
:<math>\ |y(t)| \leq B \quad \forall t \in \mathbb{R}</math> 針對連續訊號

== 線性非時變系統時域分析下的條件==
===連續系統的充份及必要條件===
針對連續時間的[[线性时不变系统理论|線性非時變]]（LTI）系統，BIBO穩定性的條件是[[脈衝響應]]需為絕對可積分，也就是存在[[Lp空間|L<sup>1</sup>範數]]

<math> \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t)\right|\,\mathord{\operatorname{d}}t} = \| h \|_{1} < \infty</math>

===離散系統的充份條件===
針對離散時間的線性非時變系統，BIBO穩定性的條件是[[脈衝響應]]需為絕對可積分，也就是存在[[Lp空間|L<sup>1</sup>範數]]

:<math>\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left|h[n]\right|} = \| h \|_{1} < \infty</math>

===充份條件的證明===
假設離散時間的線性非時變系統，其脈衝響應<math>\ h[n]</math>和輸入<math>\ x[n]</math>和輸出<math>\ y[n]</math>之間會有以下的關係：
:<math>\ y[n] = h[n] * x[n]</math>

其中<math>*</math>為[[卷積]]
則依卷積的定義：

:<math>\ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{h[k] x[n-k]}</math>

令<math>\| x \|_{\infty}</math>為<math>\ |x[n]|</math>的最大值<!--，即[[Lp space|kamiii norm]].-->

:<math>\left|y[n]\right| = \left|\sum_{k=-\infty}^{\infty}{h[n-k] x[k]}\right|</math>

::<math>\le \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[n-k]\right| \left|x[k]\right|}</math>（根據[[三角不等式]]）

::<math>\le \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[n-k]\right| \| x \|_{\infty}}</math>

::<math>= \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[n-k]\right|}</math>

::<math>= \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|}</math>

若<math>h[n]</math>是絕對可求和，則<math>\sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|} = \| h \|_1  < \infty</math>且

:<math>\| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|} = \| x \|_{\infty} \| h \|_1</math>

因此若<math>h[n]</math>是絕對可求和，且<math>\left|x[n]\right|</math>有界，則因為<math>\| x \|_{\infty} \| h \|_1 < \infty</math>，<math>\left|y[n]\right|</math>也會有界。

連續時間的情形也可以依類似的方式證明。

== 線性非時變系統頻域分析下的條件==
=== 連續時間訊號 ===

對於一個[[有理函數|有理]]的連續時間系統，穩定性的條件是[[拉普拉斯轉換]]的[[收斂區域]]包括[[複數平面]]的虛軸。若系統為[[因果系統]]，其收斂區域為「最大極點」（實部為最大值的極點）實部垂直線往右的[[開集]]，定義收斂區域的極點實部稱為{{link-en|收斂橫坐標|abscissa of convergence}}。因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在[[S平面]]的嚴格左半平面（不能在虛軸上）。

可以將時域分析下的穩定性條件擴展到頻域下：

:<math>\int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t)\right| \,\operatorname{d}t}</math>

::<math> = \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t)\right| \left| e^{-j \omega t} \right| dt}</math>

::<math>= \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t) (1 \cdot e)^{-j \omega t} \right| dt}</math>

::<math> = \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t) (e^{\sigma + j \omega})^{- t} \right| dt}</math>

::<math>= \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t) e^{-s t} \right| dt}</math>

其中<math>s = \sigma + j \omega</math>，且<math>\mbox{Re}(s) = \sigma = 0</math>.

因此[[收斂區域]]必須包括虛軸。

=== 離散時間訊號 ===

對於一個[[有理函數|有理]]的[[離散訊號|離散時間]]系統，穩定性的條件是[[Z轉換]]的[[收斂區域]]包括[[單位圓]]。若系統為[[因果系統]]，其收斂區域為極點絕對值中最大值為半徑的圓周以外的[[開集]]，因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在[[Z轉換|Z平面]]的單位圓內（不能在單位圓上）。

可以用類似的方式推導穩定性準則：

:<math>\sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n]\right|}

= \sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n]\right| \left| e^{-j \omega n} \right|}</math>

::<math>= \sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n] (1 \cdot e)^{-j \omega n} \right|}</math>

::<math>=\sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n] (r e^{j \omega})^{-n} \right|}</math>

::<math>= \sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n] z^{- n} \right|}</math>

其中<math>z = r e^{j \omega}</math>，且<math>r = |z| = 1</math>

因此[[收斂區域]]必須包括[[單位圓]]。

== 相關條目 ==
* [[线性时不变系统理论]]
* [[有限脉冲响应]]（FIR）濾波器
* [[無限脈衝響應濾波器|無限脈衝響應]]（IIR）濾波器
* [[奈奎斯特图]]
* [[羅斯-霍維茨穩定性準則]]
* [[波德圖]]
* [[相位裕度]]
* [[根軌跡法]]
* [[超穩定性]]

==延伸閱讀==
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*Gordon E. Carlson ''Signal and Linear Systems Analysis with Matlab'' second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
*John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis ''Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications'' third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
*D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer ''Signals & Systems Continuous and Discrete'' fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
*[http://cnx.org/content/m12319/latest/ Proof of the necessary conditions for BIBO stability.] {{Wayback|url=http://cnx.org/content/m12319/latest/ |date=20110928223714 }}
*Christophe Basso ''Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide'' first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577
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{{自動控制}}

[[Category:信号处理]]
[[Category:数字信号处理]]
[[Category:稳定性理论]]