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在[[泛函分析]]此一[[數學]]分支裡，'''有界線性算子'''是指在[[賦範向量空間]]''X'' 及''Y'' 之間的一種[[线性映射|線性變換]]''L''，使得對所有''X'' 內的非零向量''v''，''L''(''v'') 的[[范数|範數]]與''v'' 的範數間的比值會[[有界集合|侷限]]在相同的數字內。亦即，存在一些''M''&nbsp;>&nbsp;0，使得對所有在''X'' 內的''v''，
:<math>\|Lv\|_Y \le M \|v\|_X.\, \,</math>

其中最小的''M'' 稱為''L'' 的[[算子范数]]。<math>\|L\|_{\mathrm{op}} \,</math>。

有界線性[[算子]]一般不會是[[有界函数|有界函數]]；後者需要對所有的''v''，''L''(''v'')的範數是有界的，但這只有在''Y'' 為零向量空間時才有可能。然而，有界線性算符為[[局部有界函數]]。

一個線性算子為有界的，若且唯若其為連續的。因此有界线性算子也被称为[[连续线性算子]]。

== 例子 ==
* 任何在兩個有限維度賦範空間之間線性算符皆是有界的，且此類算符可以被視為某些固定[[矩陣]]的乘積。
* 許多[[積分變換]]為有界線性算符。例如，設
::<math>K:[a, b]\times [c, d]\to {\mathbf R} \,</math>
:為一連續函數，則算符''L''
::<math>(Lf)(y)=\int_{a}^{b}\!K(x, y)f(x)\,dx, \,</math>
:（定義於由在<math>[a, b] \,</math> 上的連續函數所組成的空間<math>C[a, b] \,</math>，賦予空間<math>C[c, d] \,</math> [[均勻範數]]的值）是有界的。此一算符實際上也是[[紧算子|緊緻]]的。緊緻算符在有界算符中是很重要的一類。

* [[拉普拉斯算符]]
::<math>\Delta:H^2({\mathbf R}^n)\to L^2({\mathbf R}^n) \,</math>
:（其定義域為[[索伯列夫空间|索伯列夫空間]]，值域在由[[平方可積函數]]所組成的空間內）是有界的。

* 在由所有實數[[序列]](''x''<sub>''0''</sub>, ''x''<sub>''1''</sub>, ''x''<sub>''2''</sub>...)（其中<math>x_0^2+x_1^2+x_2^2+\cdots < \infty, \,</math>）所組成的[[Lp空間|''l''<sup>''2''</sup> 空間]]上的[[位移算符]]
::<math>L(x_0, x_1, x_2, \dots)=(0, x_0, x_1, x_2,\dots) \,</math> 
:是有界的。其算符範數可輕易地看出為1。

== 有界和連續的等價 ==

如開頭所述，在賦範空間''X'' 及''Y''間的線性算子''L'' 是有界的，若且唯若其為[[连续线性算子|連續線性算子]]。證明如下：

* 設''L'' 是有界的，則對''X''內的所有向量''v'' 及''h''（其中的''h''不為零），會有
::<math>\|L(v + h) - L v\| = \|Lh\| \le M\|h\| \,</math>。
:令<math>\mathit{h} \,</math> 趨近於零，即可證明''L'' 在''v'' 是連續的。甚至，因為常數''M'' 不依賴''v''，可證明''L'' 實際上是[[均勻連續]]的（更甚之，還是[[利普希茨連續]]的）。

* 反過來，在零向量的連續性，允許存在一個<math>\delta > 0</math>，使得對所有''X'' 內<math>\|h\| \le \delta</math> 的向量''h''，<math>\|L(h)\|=\| L(h) - L(0) \| \le 1</math>。因此，對所有'X'' 內的非零向量''v''，會有
::<math>\|Lv\| = \left \Vert {\|v\| \over \delta} L \left( \delta {v \over \|v\|} \right) \right \Vert = {\|v\| \over \delta} \left \Vert L \left( \delta {v \over \|v\|} \right) \right \Vert \le  {\|v\| \over \delta} \cdot 1  = {1 \over \delta}\|v\|. </math>
: 這證明了''L'' 是有界的。



== 參考資料 ==
* Kreyszig, Erwin: ''Introductory Functional Analysis with Applications'', Wiley, 1989

== 参见 ==
*[[算子代数]]
*[[算子理论]]
{{泛函分析}}
[[Category:线性算子]]
[[分類:算子理論]]
[[分類:連續映射]]