查看“︁有理簇”︁的源代码

在[[數學]]中的[[代數幾何]]領域，[[域 (數學)|域]] <math>K</math> 上的'''有理簇'''是一個[[雙有理等價]]於射影空間 <math>\mathbb{P}_K^n</math>（<math>n \in \N</math>）的[[代數簇]]。有理性僅依賴於其[[函數域]]，更明確地說，代數簇 <math>X</math> 是有理簇若且唯若 <math>K(X) \simeq K(T_1, \ldots, T_n) \;(n \in \N)</math>，其中 <math>T_1, \ldots, T_n</math> 是獨立的變元。

==古典結果==
Lüroth 定理是關於有理簇的基本結論，它斷言：對於[[有理函數]]域 <math>K(T)</math> 的子域 <math>L</math>，若次數 <math>[K(T):L]</math> 有限，而 <math>K</math> [[代數封閉域|代數閉]]，則 <math>L</math> 也是個有理函數域。

翻譯成幾何語言，這相當於說：若對代數閉域 <math>K</math> 上的[[代數曲線]] <math>C</math>，存在滿態射 <math>\mathbb{P}^1 \to C</math>（或稱[[分歧覆蓋]]），則 <math>C</math> 是有理簇。

有理簇有一個有用的性質：若 <math>K</math> 非[[有限域]]，<math>X</math> 是 <math>K</math>-有理簇，則 <math>X(K)</math> 在 <math>X(\bar{K})</math> 中稠密。

==單有理簇==
能由有理簇覆蓋的代數簇稱為'''單有理簇'''，用域論的語言來說，即是有理函數域 <math>K(T_1, \ldots, T_n)</math> 的子域 <math>L</math>，使得 <math>[K(T_1, \ldots, T_n):L]</math> 有限。凡有理簇皆為單有理簇；在一維的情形，Lüroth 定理斷言單一維的有理簇皆是有理簇。

對於複[[代數曲面]]，同樣可由 Castelnuovo 定理導出單有理曲面皆為有理簇。但是在特徵 <math>p > 0</math> 時存在反例。在三維情形， Clemens 與 Griffiths 找出了反例。

==例子==
* [[代數群]]理論中常出現相關的結構；例如[[約化群]]皆為單有理簇，約化群對[[拋物子群]]的商是有理簇。

==文獻==
*{{citation|last=Noether|first=Emmy|title=Rationale Funkionenkorper|journal=J. Ber. d. DMV|volume=22|year=1913|pages=316–319}}.
*{{citation|last=Noether|first=Emmy|title=Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe|journal=Mathematische Annalen|volume=78|year=1918|pages=221–229|doi=10.1007/BF01457099}}.
*{{citation|first=R. G. |last=Swan| title=Invariant rational functions and a problem of Steenrod|journal=Inventiones Mathematicae |volume=7|year=1969|pages=148–158|doi=10.1007/BF01389798}}
*{{Citation | last1=Martinet | first1=J. | title=Séminaire Bourbaki. Vol. 1969/70: Exposés 364--381 | publisher=Springer-Verlag| location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | id={{MathSciNet | id = 0272580}} | year=1971 | volume=180 | chapter=Exp. 372 Un contre-exemple à une conjecture d'E. Noether (d'après R. Swan);}}

[[Category:雙有理幾何]]
[[Category:代數幾何|Y]]