查看“︁有理数根定理”︁的源代码

在[[代数]]中，'''有理根定理'''（或'''有理根检验'''、'''有理零定理'''、'''有理零检验'''或'''{{Math|''p''/''q''}}定理'''）陈述了对[[代数方程|多项式方程]]的[[有理数]]解的[[约束]]。

: <math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 = 0</math>

具有[[整数]]系数<math>a_i\in\mathbb{Z}</math>和<math>a_0,a_n \neq 0</math> .方程的解也称为左侧[[多項式|多项式]]的[[根 (数学)|根]]或零点。

该定理指出每个[[有理数|有理根]]<math>x=\frac{p}{q}</math>，写成最低项使<math>p</math>和<math>q</math>[[互質|互质]]，满足：

*<math>p</math> 是[[常数项|常数项]]<math>a_0</math>的整数[[因數|因子]]
*<math>q</math> 是首项<math>a_n</math>的整数[[因數|因子]]

有理根定理是[[高斯引理 (多項式)|高斯定理]]关于多项式分解的一个特例（对于单个线性因子）。

'''整数根定理'''(integral root theorem) 是有理根定理当最高次项系数<math>a_n=1</math>的特例。

== 应用 ==
该定理用于查找多项式的所有有理根（如果有的话）。它给出了有限数量的可能分数，可以检查它们是否是根。如果找到有理根{{Math|1=''x'' = ''r''}} ，则可以使用多项式[[多项式除法|长除法]]从多项式中分解出线性多项式{{Math|(''x'' – ''r'')}} ，从而得到一个更低阶的多项式，其根也是原始多项式的根。

=== 三次方程 ===
一般[[三次方程]]

: <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>

具有整数系数的问题在[[复平面]]上有三个解。如果有理根测试找不到有理解，那么用[[代數式|代数]]表示解的唯一方法是使用[[三次函數|立方根]]。但是，如果测试找到有理解{{Math|''r''}} ，则分解出{{Math|(''x'' – ''r'')}}会留下一个[[二次函数|二次多项式]]，其两个根是用二次公式找到的，是剩余的两个立方根，避免了立方根。

== 证明 ==

=== 初等证明 ===
让<math>P(x) \ =\ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0</math>和<math>a_0, \ldots a_n \in \mathbb{Z}.</math>

假设{{Math|1=''P''(''p''/''q'') = 0}}对于一些[[互質|互质]]{{Math|''p'', ''q'' ∈ '''ℤ'''}} ：

: <math>P\left(\tfrac{p}{q}\right) = a_n\left(\tfrac{p}{q}\right)^n + a_{n-1}\left(\tfrac{p}{q}\right)^{n-1} + \cdots + a_1 \left(\tfrac{p}{q}\right) + a_0 = 0.</math>

要清除分母，将两边乘以{{Math|''q''<sup>''n''</sup>}} ：

: <math>a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \cdots + a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n = 0.</math>

将{{Math|''a''<sub>0</sub>}}项移到右侧并分解出左侧的{{Mvar|p}}会得到：

: <math>p \left (a_np^{n-1} + a_{n-1}qp^{n-2} + \cdots + a_1q^{n-1} \right ) = -a_0q^n.</math>

因此， {{Mvar|p}}整除{{Math|''a''<sub>0</sub>''q<sup>n</sup>''}} 。但是{{Mvar|p}}与{{Mvar|q}}互质，因此与{{Math|''q<sup>n</sup>''}}互质，因此根据[[欧几里得引理|欧几里德引理，]] {{Mvar|p}}必须整除剩余的因子{{Math|''a''<sub>0</sub>}} 。

另一方面，将{{Math|''a''<sub>''n''</sub>}}移到右侧并在左侧分解出{{Mvar|q}}会产生：

: <math>q \left (a_{n-1}p^{n-1} + a_{n-2}qp^{n-2} + \cdots + a_0q^{n-1} \right ) = -a_np^n.</math>

如前所述，可以得出{{Mvar|q}}整除{{Math|''a<sub>n</sub>''}} 。 <ref>{{Cite book|first=D.|last=Arnold|first2=G.|last2=Arnold|title=Four unit mathematics|publisher=Edward Arnold|year=1993|isbn=0-340-54335-3|pages=120–121}}</ref>

=== 使用高斯定理证明 ===
如果有一个非平凡的因子除以多项式的所有系数，则可以除以系数的[[最大公因數|最大公约数]]，从而获得[[高斯引理 (多項式)|高斯定理]]意义上的本原多项式；这不会改变有理根的集合，只会加强整除条件。该引理表示，如果{{Math|'''Q'''[''X'']}}中的多项式因子，那么它也会将{{Math|'''Z'''[''X'']}}中的因子作为本原多项式的乘积。现在，任何有理根{{Math|''p''/''q''}}都对应于多项式{{Math|'''Q'''[''X'']}}中的 1 次因子，其原始表示则为{{Math|''qx'' − ''p''}} ，假设{{Math|''p''}}和{{Math|''q''}}互质。但是{{Math|''qx'' − ''p''}}的{{Math|'''Z'''[''X'']}}中的任何倍数都有可被{{Math|''q''}}整除的首项和可被{{Math|''p''}}整除的常数项，这证明了命题。这个论点表明，更一般地， {{Math|''P''}}的任何不可约因子都可以假设具有整数系数，并且最高次系数和常数系数整除{{Math|''P''}}的最高次系数和常数系数.

== 例子 ==

=== 一、 ===
在多项式<math>2x^3+x-1,</math>中



任何完全约化的有理根都必须有一个能整除 1 的分子和一个能整除 2 的分母。因此，唯一可能的有理根是±1/2 和±1；由于这些都不等于多项式为零，因此它没有有理根。

=== 二、 ===
在多项式<math>x^3-7x+6</math>中



唯一可能的有理根将具有除以 6 的分子和除以 1 的分母，将可能性限制为 ±1、±2、±3 和 ±6。其中，1、2 和 –3 使多项式等于零，因此是它的有理根。 （实际上，这些是它唯一的根，因为三次方只有三个根；一般来说，多项式可能有一些有理根和一些[[無理數|无理]]根。 )

=== 三、 ===
多项式

: <math>3x^3 - 5x^2 + 5x - 2 </math>

的每个有理根

:

必须在以下符号表示的数字中：

: <math>\pm\tfrac{1,2}{1,3} = \pm \left\{1, 2, \tfrac{1}{3}, \tfrac{2}{3}\right\} .</math>

这 8 个候选根{{Math|1=''x'' = ''r''}}可以通过评估{{Math|''P''(''r'')}}来测试，例如使用[[秦九韶算法|Horner 的方法]]。结果恰好有一个{{Math|1=''P''(''r'') = 0}} 。

这个过程可能会更有效率：如果{{Math|''P''(''r'') ≠ 0}} ，它可以用来缩短剩余候选者的列表。 <ref>{{Cite journal |last=King |first=Jeremy D. |date=November 2006 |title=Integer roots of polynomials |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2006-11_90_519/page/n72 |journal=Mathematical Gazette |volume=90 |page=455–456}}</ref>例如， {{Math|1=''x'' = 1}}不起作用，因为{{Math|1=''P''(1) = 1}} 。代入{{Math|1=''x'' = 1 + ''t''}}产生一个多项式&nbsp;{{Mvar|t}}具有常数项{{Math|1=''P''(1) = 1}} ，而{{Math|''t''<sup>3</sup>}}的系数与{{Math|''x''<sup>3</sup>}}的系数保持相同。应用有理根定理从而产生可能的根<math>t=\pm\tfrac{1}{1,3}</math> ， 以便

: <math>x = 1+t = 2, 0, \tfrac{4}{3}, \tfrac{2}{3}.</math>

实根必须出现在两个列表中，因此有理根候选列表已缩小到只有{{Math|1=''x'' = 2}}和{{Math|1=''x'' = 2/3}} 。

如果找到{{Math|''k'' ≥ 1}}有理根，Horner 方法也会产生一个{{Math|''n'' − ''k''}}次多项式，其根与有理根一起恰好是原始多项式的根。如果没有一个候选者是解决方案，则不可能有合理的解决方案。



== 笔记 ==
{{Reflist}}

== 参考 ==

* Charles D. Miller、Margaret L. Lial、David I. Schneider：''大学代数基础''。 Scott & Foresman/Little & Brown 高等教育，第 3 版 1990，{{ISBN|0-673-38638-4}} ，页数&nbsp;216–221
* Phillip S. Jones, Jack D. Bedient：''初等数学的历史根源''。多佛信使出版社 1998 年，{{ISBN|0-486-25563-8}} ，页数&nbsp;116–117（{{Google books|7xArILpcndYC|online copy|page=116}}）
* Ron Larson：''微积分：一种应用方法''。圣智学习 2007，{{ISBN|978-0-618-95825-2}} ，第&nbsp;23–24（{{Google books|bDG7V0OV34C|online copy|page=23}}）

== 外链 ==

* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|title=Rational Zero Theorem}}
* [http://planetmath.org/encyclopedia/RationalRootTheorem.html ''RationalRootTheorem''] {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/RationalRootTheorem.html |date=20110628232429 }} at [[PlanetMath]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Generalization/RationalRootTheorem.shtml Another proof that n<sup>th</sup> roots of integers are irrational, except for perfect nth powers] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/Generalization/RationalRootTheorem.shtml |date=20160806045613 }} by Scott E. Brodie
* [http://www.purplemath.com/modules/rtnlroot.htm ''The Rational Roots Test''] {{Wayback|url=http://www.purplemath.com/modules/rtnlroot.htm |date=20160812235330 }} at purplemath.com

[[Category:多项式定理]]
[[Category:求根算法]]