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在数学的一个分支——[[凸分析]]中，'''有效域'''是对[[定义域]]的扩展。

==定義==
给定一个[[向量空间]]''X''，则一个映射到[[廣義實數|廣義實數域]]的[[凸函数]] <math>f: X \to \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}</math> 的''有效域'' 被定义为：
:<math>\operatorname{dom}f = \{x \in X: f(x) < +\infty\}</math>。<ref name="AB">{{cite book|last1=Aliprantis|first1=C.D.|last2=Border|first2=K.C.|title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|edition=3|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-32696-0|doi=10.1007/3-540-29587-9|page=254}}</ref><ref>{{cite book|first1=Hans|last1=Föllmer|first2=Alexander|last2=Schied|title=Stochastic finance: an introduction in discrete time|url=https://archive.org/details/stochasticcalcul02foll|publisher=Walter de Gruyter|year=2004|edition=2|isbn=978-3-11-018346-7|page=[https://archive.org/details/stochasticcalcul02foll/page/n419 400]}}</ref>

对于[[凹函数]]，其''有效域''为：
:<math>\operatorname{dom}f = \{x \in X: f(x) > -\infty\}</math>。<ref name="AB" />

有效域的一个等价说法是[[上镜图]]的投影，即：
:<math>\operatorname{dom}f = \{x \in X: \exists y \in \mathbb{R}: (x,y) \in \operatorname{epi}f\}</math>。<ref name="Rockafellar">{{cite book|author=[[Rockafellar, R. Tyrrell]]|title=Convex Analysis|url=https://archive.org/details/convexanalysis00rock|publisher=Princeton University Press|location=Princeton, NJ|year=1997|origyear=1970|isbn=978-0-691-01586-6|page=[https://archive.org/details/convexanalysis00rock/page/23 23]}}</ref>

注意，如果一个凸函数映射到一般的[[实数域]]，即 <math>f: X \to \mathbb{R}</math>，则其有效域等价于一般的定义域。

函数 <math>f: X \to \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}</math> 被稱作是[[真凸函数]]，当且仅当''f'' 是凸的, ''f''的有效域非空，且对于任意 <math>x \in X</math> 有 <math>f(x) > -\infty</math>。<ref name="Rockafellar" />

==参考资料 ==
{{Reflist}}

[[Category:数学术语]]
[[Category:函数]]

[[分类:数学分析]]
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