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{{Unreferenced|time=2024-06-16T17:37:09+00:00}}
==定義==
'''有序交換群'''係指一對 <math>(\Gamma, >)</math>，其中 <math>\Gamma</math> 為[[交換群]]，<math>></math> 為其上的一個二元[[關係]]，且滿足如下條件：

* 若 <math>a < 0</math>，則 <math>-a > 0</math>。
* 若 <math>a, b > 0</math>，則 <math> a+b > 0 </math>。

另一種等價的描述是：給定一個子集 <math>\Gamma_+  \subset \Gamma</math>，使得 <math>\Gamma_+</math> 對加法封閉，且 <math> \Gamma = \Gamma_+ \cup \{ 0 \} \cup -\Gamma_+</math>。

若對於每個 <math> x \in \Gamma </math> 都存在 <math>n \in \mathbb{Z}</math> 使得 <math>n \cdot 1 > x</math>，則稱 <math>(\Gamma,>)</math> 滿足'''阿基米德性質'''。

==範例與基本性質== 
* 由上述公理可推出：對於每個 <math>x \in \Gamma, x \neq 0</math> 都有 <math> x^2 > 0 </math>。
* <math>\mathbb{Z}, \mathbb{R}, \mathbb{R}^*</math> 都是有序交換群且滿足阿基米德性質。
* 若 <math>(\Gamma, >_1), (\Gamma_2,  >_2)</math> 為有序交換群，則 <math>\Gamma_1 \times \Gamma_2</math> 配合其[[字典序]]也構成一個有序交換群。
* <math>(\Gamma, >)</math> 滿足阿基米德性質的充要條件是它可以嵌入 <math>(\mathbb{R}, +)</math>。

==參見==
*[[序理論]]
*[[环 (代数)|環]]

{{ModernAlgebra}}


[[Category:序理論|Y]]
[[Category:群论|Y]]