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{{Unreferenced|time=2018-02-17T16:52:03+00:00}}
'''最小能量控制'''（minimum energy control）是[[控制理论]]中的一種[[最佳控制]]，是指讓控制系統以最小能量到達理想狀態的[[控制 (最佳控制理論)|控制]]<math>u(t)</math>，而能量會用控制向量的轉置和控制向量的內積<math>u^*(t) u(t)</math>來表示。

==線性非時變系統的最小能量控制==
令線性非時變（LTI）系統為
: <math>\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)</math>
: <math>\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t)</math>
其初始條件<math> x(t_0)=x_0 </math>。可以找到輸入<math> u(t) </math>使得系統在時間<math>t_1</math>的狀態為<math>x_1</math>，而且任何其他也可以讓系統在時間<math>t_1</math>的的狀態推進到<math>x_1</math>的輸入 <math>\bar{u}(t)</math>，其需要的能量都會比最小能量控制的能量要大。

:<math> \int_{t_0}^{t_1} \bar{u}^*(t) \bar{u}(t) dt \ \geq  \ \int_{t_0}^{t_1} u^*(t) u(t) dt. </math>

要找到此一控制輸入，先計算[[可控制性格拉姆矩阵]]

:<math> W_c(t)=\int_{t_0}^t e^{A(t-\tau)}BB^*e^{A^*(t-\tau)} d\tau.</math>

假設<math>W_c</math>為非奇異矩陣（若且唯若系統有可控制性），最小能量控制為

:<math> u(t) = -B^*e^{A^*(t_1-t)}W_c^{-1}(t_1)[e^{A(t_1-t_0)}x_0-x_1].</math>

代入其解中

:<math>x(t)=e^{A(t-t_0)}x_0+\int_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau</math>

可以驗證系統在時間<math>t_1</math>時的狀態為<math>x_1</math>。

==相關條目==
* [[线性时不变系统理论]]
* [[控制工程]]
* [[状态空间]]
* [[变分法]]
==外部連結==
*{{cite book|author=Jerzy Klamka |title=Controllability and Minimum Energy Control |year=2018 |publisher=Springer International Publishing |isbn=9783319925400 |date=2018 |accessdate=2024-11-18 }}
[[Category:控制理论]]