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{{not|極大元|極小元|極大值|極小值}}

[[File:Lattice of the divisibility of 60 narrow 1,2,3,4.svg|thumb|60的[[因數]]集<math>P</math>，按[[整除]][[偏序]]<math>x | y</math>畫成[[哈斯圖]]。紅色子集<math>S = \{ 1, 2, 3, 4 \}</math>有兩個極大元3、4，和一個極小元1，同時也是最小元。但是，<math>S</math>沒有最大元。]]

[[数学]]分支[[序理论]]中，'''最大元'''是某[[集合 (數學)|集合]]中，大於或等於其全體元素的特殊元素。'''最小元'''與之{{link-en|對偶 (序理論)|duality (order theory)|對偶}}，小於等於該集合的任何元素。例如，實數集<math>\{-3, 1, 2.5, \pi\}</math>中，最大元是<math>\pi</math>，而最小元是<math>-3</math>，但是區間<math>(0, 1) = \{x: 0 < x < 1\}</math>並無最大元或最小元。

此處「大小」關係除一般[[實數]]的大小關係外，也可以是定義在任意集合上的[[偏序]]或[[預序]]。

== 嚴格定義 ==
設<math>(P, \le)</math>為[[偏序集]]（或[[預序|預序集]]亦可），<math>S</math>為其子集。若<math>S</math>的元素<math>g</math>滿足：
:對<math>S</math>的任意元素<math>s</math>，皆有<math> s\le g</math>，
則<math>g</math>稱為<math>S</math>的'''最大元'''（{{lang-en|greatest element}}）。對偶地，若<math>S</math>的元素<math>l</math>滿足：
:對<math>S</math>的任意元素<math>s</math>，皆有<math> l \le s</math>，
則<math>l</math>稱為<math>S</math>的'''最小元'''（{{lang|en|least element}}）。

由定義，<math>S</math>的最大（小）元必定是<math>S</math>的[[上界和下界|上（下）界]]。且若<math>P</math>為偏序集，則集合<math>S</math>至多得一個最大元：若<math>g_1</math>和<math>g_2</math>皆為最大，則由定義有<math>g_1 \leq g_2</math>，又有<math>g_2 \leq g_1</math>，由[[反對稱性]]得<math>g_1 = g_2</math>。所以若有最大元，則必定唯一。{{sfn|松坂|1968|pp=90-97}}若改為預序集則不一定。

整個偏序集<math>P</math>的最大最小元又稱為'''頂'''（{{lang|en|top}}）和'''底'''（{{lang|en|bottom}}）。頂常以符號記作<math>1</math>或<math>\top</math>，底則是<math>0</math>或<math>\bot</math>，在[[有补格]]和[[布爾代數]]等結構中尤為常見。有頂和底的偏序集稱為[[有界偏序集合]]。

=== 與極大極小元、上下界之別 ===
集合不一定有最大元，也不一定有[[上界]]。即使集合有上界和[[上確界]]，也不一定有最大元。舉例，[[實數系]]<math>\mathbb R</math>中，任何正數皆是[[负数|負數]]子集<math>\mathbb R^-</math>的上界，且<math>0</math>為其上確界，但是沒有最大元：不存在「最大的負數」。最小元與下界、下確界的關係也類似。最大元又與[[極大元]]（{{lang|en|maximal element}}）不同：有極大元的集合不一定有最大元，但偏序集若有最大元，則同時亦是唯一的極大元。最小元與[[極小元]]（{{lang|en|minimal element}}）亦不同。{{sfn|松坂|1968|pp=90-97}}

== 性質 ==

設<math>(P, \leq)</math>為[[偏序集]]，<math>S</math>為其子集。
* 有限[[全序集]]的[[非空]]子集必有最大最小元。
* <math>S</math>若有最大元<math>g</math>，則<math>g</math>必定是[[極大元]]。此時，<math>S</math>衹有這一個極大元：對任意極大元<math>M</math>，由於<math>g</math>是最大元，必有<math>M \le g</math>，從而由<math>M</math>極大知<math>M= g</math>。所以若<math>S</math>有多於一個極大元，則不能有最大元。
* 若<math>P</math>滿足[[升链条件]]，則其子集<math>S</math>有最大元[[当且仅当]]其恰有一個極大元。
**「僅當」：最大元必然是極大元。
**「當」：假設<math>S</math>有唯一極大元<math>m</math>但沒有最大元。因為<math>m</math>不是最大，有<math>s_1 \in S</math>與<math>m</math>不可比，又<math>s_1 </math>不是極大，所以有某個<math>s_2 \in S</math>滿足<math>s_1 < s_2</math>。<math>s_2</math>與<math>m</math>也不可比：若<math>m < s_2</math>，則與<math>m</math>極大矛盾；反之<math>s_2 \leq m</math>又推出<math>s_1 < m</math>，與<math>s_1</math>、<math>m</math>不可比又矛盾。重複以上步驟，可得無窮遞升鏈<math>s_1 < s_2 < \cdots < s_n < \cdots</math>（其中每個<math>s_i</math>皆與<math>m</math>不可比，又非極大），與升鏈條件矛盾。

== 全序集的最大最小元 ==
假如<math>\,\leq\,</math>[[限制 (數學)|限制]]到子集<math>S</math>上為[[全序关系|全序]]（如[[#top|首段]]附圖的<math>S = \{ 1, 2, 4 \}</math>），則在<math>S</math>中，最大元與極大元等價：若<math>m \in S</math>為極大，則對任意其他<math>s \in S</math>，必有<math>s \le m</math>（<math> m < s</math>將與<math>m</math>極大矛盾），故<math>m</math>是最大元。

所以，全序集中，最大元與極大元兩個概念重合，有時也稱為'''最大值'''（{{lang|en|maximum}}），同理最小元與極小元也稱為'''最小值'''（{{lang|en|minimum}}）。但上述用法與{{link-ja|實值函數|実数値関数|實值函數}}論的用法略有出入。<ref name="nlab1">{{nlab|id=extremum#idea|title=extremum: 1. Idea.}}</ref>研究實值函數時，所謂[[最大值]]是函數的[[值域]]的最大元，又稱全域最大值、絕對最大值、最大值。<ref>{{cite mathworld|urlname=GlobalMaximum|title=Global Maximum}}</ref>而限制到某點[[鄰域]]時，對應[[值域]]的最大元（等同於極大元）則稱為局域最大值、相對最大值、極大值。<ref>{{cite mathworld|urlname=LocalMaximum|title=Local Maximum}}</ref>最大最小值又合稱[[最值]]，[[極值]]亦同。

集合<math>S</math>的最大最小值分別記作<math>\max S, \min S</math>。在[[格理論]]或[[概率论]]中，為方便運算，會將兩數<math>a, b</math>之最大最小值（即其組成二元集的最大最小元）簡記作[[併運算|併]]<math>a \vee b</math>和[[交]]<math>a \wedge b</math>。換言之：
:<math> a \vee b = \max\{a, b\}, \quad a \wedge b = \min\{a, b\}. </math><ref>{{cite book
|last=Billingsley
|first=P.
|title=Probability and Measure
|url=https://archive.org/details/probabilitymeasu0000bill_a8s0
|trans-title = 概率與測度
|edition=Anniversary
|publisher=Wiley
|year=2012
|isbn=978-1-118-12237-2
|page=[https://archive.org/details/probabilitymeasu0000bill_a8s0/page/n593 572]
|language = en
}}</ref>

== 例 ==

[[File:KeinVerband.svg|thumb|110px|例2之[[哈斯圖]]]]
* [[實數集]]<math>\mathbb R</math>中，全體[[整數]]組成的子集<math>\mathbb Z</math>沒有上界，從而沒有最大元。
* 如圖所示，在集合<math>\{a, b, c, d\}</math>上，定義[[自反關係]]<math>\,\leq\,</math>使<math>a \leq c,</math> <math>a \leq d,</math> <math>b \leq c,</math> <math>b \leq d.</math>。則<math>c, d</math>皆是集合<math>\{a, b\}</math>的上界，但因為不可比較，沒有最小上界。又<math>a, b</math>不可比，<math>\{a, b\}</math>沒有最大元。
* [[有理数|有理數集]]<math>\mathbb Q</math>中，平方小於2的數所組成的子集<math>\{q \in \mathbb Q: q^2 < 2\}</math>有上界（如<math>100</math>），但沒有最大元，也沒有上確界。
* <math>\mathbb{R}</math>中，區間<math>[0, 1)</math>有上確界<math>1</math>而沒有最大元。但區間<math>[0, 1]</math>有最大元<math>1</math>，同時也是上確界。
* <math>\mathbb{R}^2</math>配備{{link-en|積序|product order|積偏序}}時{{註|<math>(a, b) \le (x, y)</math>定義成<math>a \le x</math>且<math>b \le y</math>。}}，滿足<math>0 < x< 1</math>（而<math>y</math>任意）的二元組<math>(x, y)</math>的集合<math>A</math>沒有上界，也沒有最大元。
* 但當<math>\mathbb{R}^2</math>配備[[字典序]]時{{註|<math>(a, b)\le (x, y)</math>定義成<math>a < b</math>或（<math>a = b</math>且<math>x\le y</math>）。}}，<math>A</math>有上界<math>(1, 0)</math>，但仍沒有上確界和最大元。

== 參見 ==
* [[本质上确界和本质下确界]]
* [[始对象和终对象]]
* [[極大與極小元]]
* [[上极限和下极限]]
* [[上界和下界]]
* {{le|上確界和下確界|Infimum and supremum}}
== 註 ==
{{備註表}}

== 參考文獻 ==
{{reflist}}
*{{Cite book|last=西岡|first = 康夫|year=2013|title=数学チュートリアル やさしく語る 確率統計|publisher=オーム社|isbn=9784274214073|language = ja}}
*{{Cite book|last=松坂|first =和夫|year=1968|title=集合・位相入門|publisher=岩波書店|isbn=4-00-005424-4|language = ja|ref=harv}}
* {{cite book | last1=Davey | first1=B. A. | last2=Priestley | first2=H. A. | year = 2002 | title = Introduction to Lattices and Order |title-link= Introduction to Lattices and Order | edition = 2nd | publisher = [[Cambridge University Press]] | isbn = 978-0-521-78451-1|language = en}}

[[Category:最高程度]]
[[Category:序理论]]