查看“︁曼德博集合”︁的源代码

{{Refimprove|time=2020-09-23T04:50:42+00:00}}
{{NoteTA|G1=Math|1=zh-hans:复;zh-hant:複;|2=zh-hans:迭代;zh-hant:疊代;}}
[[File:Mandelset hires.png|right|thumb|250px| 如果c点属于曼德博集合M则为黑色，反之为白色]]

'''曼德博集合'''（{{lang-en|Mandelbrot set}}，或译為'''曼德布洛特复数集合'''）是一种在[[复平面]]上组成[[分形]]的点的集合，以數學家[[本華·曼德博]]的名字命名。曼德博集合與[[朱利亚集合]]有些相似的地方，例如使用相同的复二次多项式來进行[[迭代]]。

== 定义 ==
曼德博集合可以用複二次多项式来定义：

:<math>f_c(z) = z^2 + c \,</math>

其中 <math>c</math> 是一个复数參数。

从 <math>z = 0</math> 开始对 <math>f_c(z)</math> 进行[[迭代]]：

:<math>z_{n+1} = z_n^2 + c, n=0,1,2,...</math>

:<math>z_0 = 0 \,</math>

:<math>z_1 = z_0^2 + c = c \,</math>

:<math>z_2 = z_1^2 + c = c^2 + c \,</math>

每次迭代的值依序如以下[[序列]]所示： 

<math>(0, f_c(0), f_c(f_c(0)), f_c(f_c(f_c(0))), \ldots)</math>

不同的参数 <math>c</math> 可能使[[序列]]的[[绝对值]]逐漸發散到无限大，也可能[[收斂]]在有限的區域内。

曼德博集合 <math>M</math> 就是使[[序列]]不延伸至无限大的所有复数 <math>c</math> 的[[集合 (数学)|集合]]。

==特性==
*自相似
*面积为{{gaps|1.506|591|856|1}}<ref>{{Cite web |url=http://www.mrob.com/pub/muency/pixelcounting.html |title=Mrob.com pixel counting |accessdate=2012-01-01 |archive-date=2019-08-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190810111304/http://www.mrob.com/pub/muency/pixelcounting.html |dead-url=no }}</ref><ref>{{Cite web |url=http://mrob.com/pub/muency/areahistory.html |title=Mrob.com area history |access-date=2012-04-29 |archive-date=2020-09-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200922130536/http://mrob.com/pub/muency/areahistory.html |dead-url=no }}</ref>

== 相關的定理 ==
=== 定理一 ===

若 <math>|c|\leq\frac{1}{4}</math>，則 <math>c\in{M}</math>

==== 證明： ====

假設 <math>|c|\leq\frac{1}{4}</math> 為真

則<math>|z_1|= |c|\leq \frac{1}{4}< \frac{1}{2}</math>

===== 第一步： =====

當 <math>n=2 \,</math> 時

:<math>|z_2|=|z_1^2+c|=|c^2+c| \leq |c^2|+|c|= |c|^2+|c|</math>

因為 <math>|c|\leq\frac{1}{4}</math>

:<math>|c|^2+|c|\leq \frac{1}{16}+\frac{1}{4}< \frac{1}{2}</math>

由以上可得知 <math>|z_2|< \frac{1}{2}</math>

===== 第二步： =====

假設 <math>|z_{n}|< \frac{1}{2} \,</math> 成立

:<math>|z_{n+1}|=|z_{n}^2+c|\leq |z_{n}|^2+|c|< \left(\frac{1}{2}\right)^2 +\frac{1}{4}= \frac{1}{2}</math>

由上式可得知 <math>|z_{n+1}|< \frac{1}{2}</math>

由數學歸納法可得知對於所有的n(n=1,2,...)，<math>|z_n| \,</math> 皆比 <math>\frac{1}{2} \,</math> 小。

當n趨近無限大時 <math>|z_n| \,</math> 依然沒有發散，所以 <math>c\in{M}</math>，故得證。


=== 定理二 ===

若 <math>c\in{M}</math>，則 <math>|c|\leq{2}</math>

==== 證明： ====

假設 <math>|c|>2 \,</math>

則 <math>|z_1|=|c|, |z_1|>2 \,</math>

===== 第一步： =====

當 <math>n=2 \,</math> 時

:<math>|z_2|=|z_1^2+c|=|c^2+c| \ge |c^2|-|c|= |c|^2-|c|</math>

由 <math>|c|>2 \,</math>，左右同乘 <math>|c| \,</math> 再減去 <math>|c| \,</math> 可得到下式

:<math>|c|^2-|c|> 2|c|-|c|= |c| \,</math>

由以上可得知 <math>|z_2|>|c| \,</math>

===== 第二步： =====

假設 <math>|z_{n}|>|c| \,</math> 成立，則 <math>|z_{n}|>2 \,</math>

:<math>|z_{n+1}|=|z_{n}^2+c|\ge |z_{n}^2|-|c|= |z_{n}|^2-|c|</math>

因為 <math>|z_{n}|>|c| \,</math>

:<math>|z_{n}|^2-|c|> |z_{n}|^2-|z_{n}| \,</math>

由 <math>|z_{n}|>2 \,</math>，左右同乘 <math>|z_{n}| \,</math> 再減去 <math>|z_{n}| \,</math> 可得到下式

:<math>|z_{n}|^2-|z_{n}|> 2|z_{n}|-|z_{n}|= |z_{n}| \,</math>

由以上可得知 <math>|z_{n+1}|>|z_{n}| \,</math>

由數學歸納法可得知 <math>2<|{z_1}|<|{z_2}|<...<|{z_n}|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}| \,</math>，可看出隨著迭代次數增加 <math>|z_n| \,</math> 逐漸遞增並發散。

假如<math>|z_n| \,</math>不发散，则收敛于某个常数<math> a>|c|>2 </math>,

由<math>|z_{n+1}|\ge |z_{n}|^2-|c|</math> 再取极限得 <math>a\ge a^2-|c|</math> 即 <math>a^2-a\leq |c|</math>。

又 <math>a^2-a=a(a-1)\ge a> |c|</math>，矛盾，故<math>|z_n| \,</math>发散。


所以若 <math>|c|>2 \,</math>，則 <math>c\notin{M}</math>，故得證。

=== 定理三 ===

若 <math>c\in{M}</math>，則 <math>|z_n|\leq{2}, (n=1,2,...)</math>

==== 證明： ====

要證明若 <math>|z_n|>2, (n=1,2,...) \,</math>，則 <math>c\notin{M}</math>

首先分別探討 <math>|c|>2 \,</math> 與 <math>|c|\leq2</math> 兩種情形

由定理二可知道 <math>|z_n|>2, (n=1,2,...) \,</math> 且 <math>|c|>2 \,</math> 時， <math>c\notin{M}</math>。

接著要證明 <math>|c|\leq2</math> 時的情況：

假設 <math>|z_{n}|>2 \,</math>，因為 <math>|c|\leq2</math> ，所以 <math>|z_{n}|>|c| \,</math> ，而

:<math>|z_{n+1}|=|z_{n}^2+c|\ge |z_{n}^2|-|c|= |z_{n}|^2-|c|</math>

因為 <math>|z_{n}|>|c| \,</math>

:<math>|z_{n}|^2-|c|> |z_{n}|^2-|z_{n}| \,</math>

由 <math>|z_{n}|>2 \,</math>，左右同乘 <math>|z_{n}| \,</math> 再減去 <math>|z_{n}| \,</math> 可得到下式

:<math>|z_{n}|^2-|z_{n}|> 2|z_{n}|-|z_{n}|= |z_{n}| \,</math>

由以上可得知 <math>|z_{n+1}|>|z_{n}| \,</math>

由數學歸納法可得知 <math>2<|{z_n}|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|<... \,</math>，可看出隨著迭代次數增加 <math>|z_n| \,</math> 逐漸遞增並發散。

所以在 <math>|z_n|>2, (n=1,2,...) \,</math> 且 <math>|c|\leq2</math> 的情況下也是 <math>c\notin{M}</math>。

綜合上述可得知不論 <math>|c| \,</math>為多少

若 <math>|z_n|>2, (n=1,2,...) \,</math>，則 <math>c\notin{M}</math>，故得證。

利用定理三可以在程式計算時快速地判斷 <math>|z_n| \,</math>是否會發散。

== 计算的方法 ==
曼德博集合一般用[[计算机程序]]计算。对于大多数的分形软件，例如[[Ultra fractal]]，内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段[[伪代码]]，表达了曼德博集合的计算思路。
<syntaxhighlight lang="VB">
For Each c in Complex
 repeats = 0
 z = 0
 Do
  z = z^2 + c
  repeats = repeats + 1
 Loop until abs(z) > EscapeRadius or repeats > MaxRepeats '根据定理三，EscapeRadius可设置为2。
 If repeats > MaxRepeats Then
  Draw c,Black                                            '如果迭代次数超过MaxRepeats，就将c认定为属于曼德博集合，并设置为黑色。
 Else
  Draw c,color(z,c,repeats)                               'color函数用来决定颜色。
 End If
Next
</syntaxhighlight>
=== 決定顏色的一些方法 ===
# 直接利用循环终止时的Repeats
# 综合利用z和Repeats
# [[Orbit Traps]]


=== [[Mathematica]]代码 ===
<syntaxhighlight lang="VB">
mand = Compile[{{z0, _Complex}, {nmax, _Integer}}, 
   Module[{z = z0, i = 1}, 
    While[i < nmax && Abs[z] <= 2, z = z^2 + z0; i++]; i]];
ArrayPlot[
 Reverse@Transpose@
   Table[mand[x + y I, 500], {x, -2, 2, 0.01}, {y, -2, 2, 0.01}]]
</syntaxhighlight>

== 各種圖示 ==

{{commons|Mandelbrot set}}
[[File:Mandelbrotzoom Wiki h265 CRF04 20210412 006GANZ.webm|thumb|270px|動畫]]
[[Image:Mandelbrot sequence new.gif|thumb|right|點擊此圖像可觀看動態影像。]]

{| border=0
|-
| [[File:mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|120px|thumb|left|最原始圖片]]
| [[File:mandel zoom 01 head and shoulder.jpg|120px|thumb|left|放大等級1]]
| [[File:mandel zoom 02 seehorse valley.jpg|120px|thumb|left|放大等級2]]
| [[File:mandel zoom 03 seehorse.jpg|120px|thumb|left|放大等級3]]
| [[File:mandel zoom 04 seehorse tail.jpg|120px|thumb|left|放大等級4]]
|-
| [[File:mandel zoom 05 tail part.jpg|120px|thumb|left|放大等級5]]
| [[File:mandel zoom 06 double hook.jpg|120px|thumb|left|放大等級6]]
| [[File:mandel zoom 07 satellite.jpg|120px|thumb|left|放大等級7]]
| [[File:mandel zoom 08 satellite antenna.jpg|120px|thumb|left|放大等級8]]
| [[File:mandel zoom 09 satellite head and shoulder.jpg|120px|thumb|left|放大等級9]]
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| [[File:mandel zoom 10 satellite seehorse valley.jpg|120px|thumb|left|放大等級10]]
| [[File:mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg|120px|thumb|left|放大等級11]]
| [[File:mandel zoom 12 satellite spirally wheel with julia islands.jpg|120px|thumb|left|放大等級12]]
| [[File:mandel zoom 13 satellite seehorse tail with julia island.jpg|120px|thumb|left|放大等級13]]
| [[File:mandel zoom 14 satellite julia island.jpg|120px|thumb|left|放大等級14]]
|}

== 參考資料 ==
{{reflist}}

{{分形}}

[[Category:分形]]
[[Category:带有伪代码示例的条目]]