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[[微分几何]]中，'''曲率形式'''（{{lang|en|curvature form}}）描述了[[主丛]]上的[[联络形式|联络]]的[[曲率]]。它可以看作是[[黎曼几何]]中的[[曲率张量]]的替代或是推广。

==定义==

令 ''G'' 为一个[[李群]]，记 ''G'' 的[[李代数]]为 <math>g</math>。设 <math>E\to B</math> 为一个[[主丛|主 ''G''-丛]]。令 <math>\omega</math> 表示 ''E'' 上一个[[埃雷斯曼联络]]（它是一个''E''上的 ''g''-值 [[微分形式|1-形式]]）。

那么'''曲率形式'''就是 ''E'' 上的 ''g''-值 2-形式，定义为

:<math>\Omega=d\omega +{1\over 2}[\omega,\omega]=D\omega.</math>

这里 <math>d</math> 表示标准[[外导数]]，<math>[*,*]</math> 是[[李括号]]，而 ''D'' 表示[[外共变导数]]。或者说

:<math>\Omega(X,Y)=d\omega(X,Y) +[\omega(X),\omega(Y)].</math>
===向量丛上的曲率形式===
若 <math>E\to B</math> 是一个[[纤维丛]]，其[[结构群]]为 ''G''，我们可以在[[相伴丛|相伴]]的主 ''G''-丛上重复同样的定义。

若 <math>E\to B</math> 是一个向量丛则我们可以把 <math>\omega</math> 看作是 1-形式的矩阵，则上面的公式取如下形式：

:<math>\Omega=d\omega +\omega\wedge \omega, </math>

其中 <math>\wedge</math> 是[[楔积]]。更准确地讲，若 <math>\omega^i_j</math> 和 <math>\Omega^i_j</math> 分别代表 <math>\omega</math> 和 <math>\Omega</math> 的分量（所以每个 <math>\omega^i_j</math> 是一个通常的 1-形式而每个 <math>\Omega^i_j</math> 是一个普通的2-形式），则

:<math>\Omega^i_j=d\omega^i_j +\sum_k \omega^i_k\wedge\omega^k_j.</math>

例如，[[黎曼流形]]的[[切丛]]，我们有 <math>O(n)</math> 作为结构群而 <math>\Omega^{}_{}</math> 是在 <math>o(n)</math> 中取值的 2-形式（给定[[标准正交基]]，可以视为反对称矩阵）。在这种情况，<math>\Omega^{}_{}</math> 是[[曲率张量]]的一种替换表述，也就是在曲率张量的标准表示中，我们有

:<math>R(X,Y)Z=\Omega^{}_{}(X\wedge Y)Z.</math>

上式使用了黎曼曲率张量标准记号。

==比安基恒等式==
如果 <math>\theta</math> 是标架丛上的典范向量值 1-形式，联络形式 ω 的[[挠率形式|挠率]] <math>\Theta</math> 是由结构方程定义的向量值 2-形式：

:<math>\Theta=d\theta + \omega\wedge\theta = D\theta,</math>

这里 ''D'' 代表[[外共变导数]]。

第一比安基恒等式（对于[[标架丛]]的有挠率联络）取以下形式

:<math>D\Theta=\Omega\wedge\theta={1\over 2}[\Omega,\theta]\ ,</math>

第二比安基恒等式对于一般有联络的丛成立，并有如下形式

:<math>D\Omega=0\ .</math>

==参看==
*[[联络 (主丛)]]
*[[陈-西蒙斯形式]]（Chern-Simons form）
*[[黎曼流形的曲率]]
*[[规范场论]]

==参考==

*[[小林昭七|S.Kobayashi]] and [[野水克己|K.Nomizu]], "Foundations of Differential Geometry", Chapters 2 and 3, Vol.I, Wiley-Interscience.

{{曲率}}


[[Category:曲率|Q]]