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[[動力學]]中的'''普法夫約束'''（Pfaffian constraint）是一種用以下形式描述系統的方式：

: <math> \sum_{s=1}^nA_{rs}du_s + A_rdt = 0;\; r = 1,\ldots, L </math><ref name=Ardema2005>{{cite book
 | author = Ardema, Mark D.
 | year = 2005
 | title = Analytical Dynamics: Theory and Applications 
 | url = https://archive.org/details/analyticaldynami0000arde
 | publisher = Kluwer Academic / Plenum Publishers
 | isbn = 0-306-48681-4
 |page=[https://archive.org/details/analyticaldynami0000arde/page/57 57]
}}</ref>
其中<math>L</math>是系統限制方程的個數。

[[非完整系統]]不一定必须是普法夫形式，比如不等式约束。

完整约束一定可以表示為普法夫約束的形式。
==推導==
假設一個用以下{{le|完整約束|Holonomic constraints|非完整約束}}方程組描述的[[非完整系統]]
:<math>f_r(u_1, u_2, u_3,\ldots, u_n, t) = 0;\; r = 1,\ldots, L </math>

其中<math>\{ u_1, u_2, u_3, \ldots, u_n \}</math>是''n''個描述系統的廣義座標，而<math>L</math>是系統約束方程的數量，可以將每一個方程用連鎖律微分：
: <math> \sum_{s=1}^n\frac{\partial f_r}{\partial u_s}du_s + \frac{\partial f_r}{\partial t}dt = 0;\; r = 1,\ldots, L </math>

經過置換後可以得到下式：
: <math> \sum_{s=1}^nA_{rs}du_s + A_rdt = 0;\; r = 1,\ldots, L </math>

==例子==
===單擺===
[[File:Pendulum56.png|thumb|單擺]]
考慮單擺，其重物的運動會受到擺長的約束，其重物的速度向量<math>\overrightarrow{V}</math>隨時都會和位置向量<math>\overrightarrow{L}</math>垂直。因為二個向量永遠正交，因此其[[点积]]恆為零。重物的位置和速度可以用以下<math>x</math>-<math>y</math>座標系統中的系統來定義：
: <math> \overrightarrow{L}\cdot\overrightarrow{V}=\begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\dot{x} \\\dot{y} \end{bmatrix} = 0</math>

簡化點積後可得：
: <math> x\dot{x} + y\dot{y} = x\frac{\text{d}x}{\text{d}t} + y\frac{\text{d}y}{\text{d}t} = 0 </math>

將等號兩邊同乘<math>\text{d}t</math>，結果就是約束方程的普法夫約束形式：
: <math> x \text{d}x + y \text{d}y = 0 </math>

普法夫形式很好用，若非完整約束方程存在，可以將普法夫形式積分來求解系統的非完整約束方程。此例中的積分是很明顯的：
: <math>\int x \text{d}x + \int y \text{d}y = 0 = x^2+y^2+C</math>
其中C是積分常數。

也可以寫成
: <math>x^2+y^2=L^2</math>

<math>L^2</math>寫成平方項只因為其必定是正數。在實際系統中，座標一定都是實數。而<math>L</math>就是單擺的擺長。

===機器人===
[[机器人]][[运动规划]]中的'''普法夫約束'''（Pfaffian constraint），是由k個[[線性無關]][[約束 (數學)|約束]]的集合，而這些約束都對速度線性，也就是說

<math>A(q) \dot q=0</math>

輪式機器人（wheeled robot）中滾動不滑動的條件即為普法夫約束<ref name=Choset2005>{{cite book
 | author = Choset, H.M.
 | year = 2005
 | title = Principles of Robot Motion: Theory, Algorithms, and Implementation
 | url = https://archive.org/details/isbn_9780262033275
 | publisher = The MIT Press
 | isbn = 0-262-03327-5
}}</ref>。

==相關條目==
{{reflist}}
[[Category:機械人運動學]]
[[Category:控制理论]]