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{{微积分学|expanded=基础概念}}
'''斯托尔兹－切萨罗定理'''（{{lang-en|'''Stolz–Cesàro theorem'''}}）是[[数学分析|数学分析学]]中的一個用于證明[[數列]][[收歛]]的定理。该定理以[[奥地利人]]{{link-en|奥托·施托尔茨|Otto Stolz}}和[[意大利人]][[恩纳斯托·切萨罗]]命名。

== 内容 ==
=== {{math|∙/∞}} 情況的敘述===
令 <math>(a_n)_{n \geq 1}</math> 以及 <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> 為兩個[[實數]][[數列]]。假設 <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> 是個[[單調函數|嚴格單調]]且發散的數列(亦即嚴格遞增並接近無窮大，或者嚴格遞減並接近負無窮大)，以及下述極限存在:
:<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l.\ </math>
那麼，可以推得極限
:<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.\ </math>

=== {{math|0/0}} 情況的敘述===
令 <math>(a_n)_{n \geq 1}</math> 以及 <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> 為兩個[[實數]][[數列]]。假設 <math>(a_n)\to 0</math> 以及 <math>(b_n)\to 0</math>，並且 <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> 是[[單調函數|嚴格單調]]。如果 
:<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l,\ </math>
則
:<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.\ </math><ref>{{Cite book|last=Choudary|first=A. D. R.|url=https://www.springer.com/gp/book/9788132221470|title=Real Analysis on Intervals|last2=Niculescu|first2=Constantin|date=2014|publisher=Springer India|isbn=978-81-322-2147-0|pages=59-60|language=en|access-date=2022-01-26|archive-date=2021-05-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20210506095557/https://www.springer.com/gp/book/9788132221470|dead-url=no}}</ref>

=== 用法说明 ===
该定理虽然主要被用来处理数列[[不定型]]极限<ref>{{cite book |url= |author=[[张筑生]] |title= 数学分析新讲 |publisher=[[北京大学出版社]] |series= |year=1990 |isbn=9787301008461 |volume=第1册 |page=88 |quote= }}</ref><ref name="Stolz_L' Hospital"/>，但该定理在没有<math>\lim_{n \to \infty} a_n= \infty</math>这一限制条件时也是成立的<ref name="Stolz_L' Hospital"/>。虽然该定理通常是以分母<math>b_n</math>為正數數列的情形加以叙述的，但注意到该定理对分子<math>a_n</math>的正负没有限制，所以原则上把对数列<math>b_n</math>的限制条件替换为“严格单调递减且趋于负无穷大”也是没有问题的。

与[[羅必达法则|洛必达法则]]的迭代用法类似，在尝试应用斯托尔兹－切萨罗定理考察数列的极限时，如果发现两个数列差分的商仍然是不定型，可以尝试再使用1次该定理，考察其[[差分#高阶差分|2阶差分]]之商的极限。<ref name="Stolz_L' Hospital"/>

应当注意，当<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} </math>不存在时，不能认定<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} </math>必定也不存在。换句话说，确实有“有穷极限<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} </math>存在，但有穷极限<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} </math>不存在”的情况（详见下文针对此逆命题所举的反例）。

== 證明 ==
=== {{math|∙/∞}}的情況 ===
假設<math>(b_n)</math>為嚴格遞增並發散至<math>\infty</math>, 而且<math>-\infty\leq l<\infty</math>, 於是存在 <math>p,q\in \mathbb R</math> 使得 <math>l<p<q</math>。因此我們有 <math>\exists n_0\in \mathbb N, \forall n\geq n_0, b_n>0 </math> 而且 <math>\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}<p</math>。

那麼，給定<math>n\geq n_0</math>，注意到 <math>a_{n+1}=(a_{n+1}-a_{n})+\cdots+(a_{n_0+1}-a_{n_0})+a_{n_0}<p(b_{n+1}-b_{n_0})+a_{n_0}</math>。因為 <math>b_{n+1}>0</math>, 我們有 <math>\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}<p\left(1-\frac{b_{n_0}}{b_{n+1}}\right)+\frac{a_{n_0}}{b_{n+1}}</math>。

令<math>c_n=p\left(1-\frac{b_{n_0}}{b_{n}}\right)+\frac{a_{n_0}}{b_{n}}</math>，由於<math>\lim_{n\to \infty}b_n=\infty</math>, 於是<math>\lim_{n\to \infty}c_n=p</math>。因此我們有<math>\exists n_1\in \mathbb N, \forall n\geq n_1, c_n<q</math>。那麼，對於<math>n\geq n_4:=\max\{n_0, n_1\}</math>，我們有 <math>\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}<c_{n+1}<q</math>。同樣地，對於 <math>-\infty<l\leq \infty</math>與 <math>q'<l</math>, 

存在 <math>n_3\in \mathbb N</math> 使得對於所有 <math>n\geq n_3</math>, 我們有 <math>q'<\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}</math>。於是，如果

# <math>l=\infty</math>, 那麼 <math>\forall q'\in \mathbb{R}, \exists n_3\in \mathbb{N}, \forall n\geq n_3, q'<\frac{a_n}{b_n}</math>。因此 <math>\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty=l</math>。
# <math>l=-\infty</math>, 那麼 <math>\forall q\in \mathbb{R}, \exists n_4\in \mathbb{N}, \forall n\geq n_4, \frac{a_n}{b_n}<q</math>。因此 <math>\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty=l</math>。
# <math>l\in \mathbb R</math>, 那麼對於所有<math>q,q'\in \mathbb{R}</math> 使得<math>q'<l<q</math>，存在一個<math>n_5\in \mathbb N</math> (上述<math>n_3, n_4</math>的最大值)，使得對於所有<math>n\geq n_5</math>，我們有 <math>q'<\frac{a_n}{b_n}<q</math>。因此<math>\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=l</math>。

對於<math>(b_n)</math>為嚴格遞減並發散至<math>-\infty</math>的情況，注意到<math>\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\frac{(-a_{n+1})-(-a_n)}{(-b_{n+1})-(-b_n)}</math> 且<math>(-b_n)</math> 為一個嚴格遞增至<math>\infty</math>的數列即得證。<br />

=== {{math|0/0}}的情況 ===
假設<math>(b_n)</math>為嚴格遞減收斂至<math>0</math>, 而且<math>-\infty\leq l<\infty</math>, 於是存在 <math>p,q\in \mathbb R</math> 使得 <math>l<p<q</math>。因此我們有 <math>\exists n_0\in \mathbb N, \forall n\geq n_0, b_n>0 </math> 而且 <math>\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}<p</math>。

那麼，給定<math>m\geq n\geq n_0</math>，注意到 <math>a_{n}=(a_{n}-a_{n+1})+\cdots+(a_m-a_{m+1})+a_{m+1}<p(b_n-b_{m+1})+a_{m+1}</math>。因為 <math>b_n>0</math>, 我們有 <math>\frac{a_{n}}{b_{n}}<p\left(1-\frac{b_{m+1}}{b_n}\right)+\frac{a_{m+1}}{b_{n}}</math>。

令<math>c_m=p\left(1-\frac{b_{m+1}}{b_n}\right)+\frac{a_{m+1}}{b_{n}}</math>，由於<math>\lim_{m\to \infty}b_m=0, \lim_{m\to \infty}a_m=0</math>, 於是<math>\lim_{m\to \infty}c_m=p</math>。那麼，當<math>m\to \infty</math>, 我們有 <math>\frac{a_n}{b_n}\leq p<q</math>。同樣地，對於<math>-\infty<l\leq \infty</math>和 <math>q'<l</math> 

存在 <math>n_1\in \mathbb N</math> 使得對於所有 <math>n\geq n_1</math>, 我們有 <math>q'<\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}</math>。於是，如果 

# <math>l=\infty</math>, 那麼 <math>\forall q'\in \mathbb{R}, \exists n_1\in \mathbb{N}, \forall n\geq n_1, q'<\frac{a_n}{b_n}</math>。因此 <math>\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty=l</math>。
# <math>l=-\infty</math>, 那麼 <math>\forall q\in \mathbb{R}, \exists n_0\in \mathbb{N}, \forall n\geq n_0, \frac{a_n}{b_n}<q</math>。因此 <math>\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty=l</math>。
# <math>l\in \mathbb R</math>, 那麼對於所有<math>q,q'\in \mathbb{R}</math> 使得<math>q'<l<q</math>，存在一個<math>n_2\in \mathbb N</math> (上述<math>n_0, n_1</math>的最大值)，使得對於所有<math>n\geq n_2</math>，我們有 <math>q'<\frac{a_n}{b_n}<q</math>。因此<math>\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=l</math>。
對於<math>(b_n)</math>為嚴格遞增並收斂到<math>0</math>的情況，注意到<math>\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\frac{(-a_{n+1})-(-a_n)}{(-b_{n+1})-(-b_n)}</math> 且<math>(-b_n)</math> 為一個嚴格遞增至<math>0</math>的數列即得證。

=== 直觀解釋 ===
利用与折线斜率的类比，该定理具有直观的几何意义。<ref name="Stolz_L' Hospital"/>

== 應用 ==

=== 算術平均 ===
令 <math>(x_n)_{n\geq 1}</math> 為一個收斂到<math>l</math>的[[實數]][[數列]], 定義

: <math>a_n:=\sum_{m=1}^nx_m=x_1+\dots+x_n,\quad b_n:=n</math>

那麼<math>(b_n)</math> 為一個遞增至 <math>+\infty</math> 的數列. 計算

: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to\infty} x_{n+1}=\lim_{n\to\infty} x_n=l</math>

因此

: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+\dots+ x_n}{n}=\lim_{n\to\infty}x_n.</math>

=== -{zh-hans:幾何; zh-tw:幾何}-平均 ===
令 <math>(x_n)_{n\geq 1}</math> 為一個收斂到<math>l</math>的[[正數]][[數列]], 定義

: <math>a_n:=\log(x_1\cdots x_n),\quad b_n:=n,</math>

計算

: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to\infty}\log\Big(\frac{x_1\cdots x_{n+1}}{x_1\cdots x_n}\Big)=\lim_{n\to\infty}\log(x_{n+1})=\lim_{n\to\infty}\log(x_n)=\log(l),</math>

這邊我們使用到[[對數|對數函數]]是[[連續函數|連續]]的。 因此

: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{\log(x_1\cdots x_n)}{n}=\lim_{n\to\infty}\log\Big((x_1\cdots x_n)^{\frac{1}{n}}\Big)=\log(l),</math>

再一次，因為[[對數|對數函數]]是[[連續函數|連續]]和[[單調函數|單調]]的，我們有

: <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}=\lim_{n\to\infty}x_n</math>.

=== 根號與比值 ===
令 <math>(x_n)_{n\geq 1}</math> 為一個收斂到<math>l</math>的[[正數]][[數列]], 定義

: <math>y_0=1, y_n=x_ny_{n-1},</math>

其中<math>n\in \mathbb N</math>。那麼我們有 <math>\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}=\sqrt[n]{y_n}</math>。於是，
我們有

: <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{y_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{y_n}{y_{n-1}}=l</math>。

== 相关命题 ==
这个用于解决数列不定型极限的定理与用于解决函数不定型极限的洛必达法则在形式上非常类似。求数列的差分对应于求函数的导函数，斯托尔兹－切萨罗定理就相当于是洛必达法则的离散化版本<ref name="Stolz_L' Hospital">{{Cite web|url=http://www.math.zju.edu.cn/ligangliu/Publications/Teaching/2008_Stolz.pdf|title=从Stolz定理到L' Hospital法则|author=刘利刚|date=|publisher=[[浙江大学数学系]]|language=zh-cn|pages=|work=|format=pdf|doi=|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160308172841/http://www.math.zju.edu.cn/ligangliu/Publications/Teaching/2008_Stolz.pdf|archivedate=2016-03-08|accessdate=2015-01-11|quote=|deadurl=yes}}</ref>。但在类比记忆时应当注意，斯托尔兹－切萨罗定理要求数列要具有严格的单调性（或者至少当项数足够大时，要具有严格单调性），而洛必达法则没有对函数的单调性作出要求；洛必达法则要求函数在所考察点的[[邻域]]上具有[[导函数|可求导性]]，但斯托尔兹－切萨罗定理对数列不存在类似限制（数列没有“可差分性”一说）。并非所有的函数都可以进行求导运算，但任何数列都是可以进行差分运算的。

此定理的[[逆命题]]不成立。也即当满足条件的<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} </math>存在时，<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} </math>未必存在。如设<math> a_n = 7n- (-1)^n </math>，<math> b_n = 7n- 2\times (-1)^n </math>，这2个正实数数列都是严格单调递增的且[[发散]]至[[无穷大]]。易知<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} </math>存在，且数值为1。但是<math> \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = \frac{7(n+1)- (-1)^{n+1}- (7n- (-1)^n)}{7(n+1)- 2\times (-1)^{n+1}- (7n- 2\times (-1)^n)} = \frac{7- (-1)^{n+1} + (-1)^n}{7- 2\times (-1)^{n+1} + 2\times (-1)^n} </math>当<math>n \to \infty</math>时是震荡的，即此差分之商的极限值不存在。目前可找出的例子都是借助震荡型数列构造的，而用于说明洛必达法则的逆命题不成立的例子也用到了震荡型的函数。

== 推广 ==
该定理的一个推广形式如下：
:如果<math> (a_n)_{n\geq 1}</math> 和<math> (b_n)_{n\geq 1}</math>是两个数列，而<math>b_n</math>是单调无界的，那么
:<math>\liminf_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\leq \liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}.</math>

=== 證明 ===
假設<math>(b_n)</math>為嚴格遞增並發散至<math>\infty</math>, 而且<math>-\infty\leq l:=\limsup_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}<\infty</math>, 於是存在 <math>p,q\in \mathbb R</math> 使得 <math>l<p<q</math>。因此我們有 <math>\exists n_0\in \mathbb N, \forall n\geq n_0, b_n>0 </math> 而且 <math>\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}<p</math>。

那麼，給定<math>n\geq n_0</math>，注意到 <math>a_{n+1}=(a_{n+1}-a_{n})+\cdots+(a_{n_0+1}-a_{n_0})+a_{n_0}<p(b_{n+1}-b_{n_0})+a_{n_0}</math>。因為 <math>b_{n+1}>0</math>, 我們有 <math>\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}<p\left(1-\frac{b_{n_0}}{b_{n+1}}\right)+\frac{a_{n_0}}{b_{n+1}}</math>。

令<math>c_n=p\left(1-\frac{b_{n_0}}{b_{n}}\right)+\frac{a_{n_0}}{b_{n}}</math>，由於<math>\lim_{n\to \infty}b_n=\infty</math>, 於是<math>\lim_{n\to \infty}c_n=p</math>。因此我們有<math>\exists n_1\in \mathbb N, \forall n\geq n_1, c_n<q</math>。那麼，對於<math>n\geq n_2:=\max\{n_0, n_1\}</math>，我們有 <math>\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}<c_{n+1}<q</math>。 

於是，當<math>n\to \infty</math>，我們有<math>\limsup_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}\leq q</math>。因為<math>q</math>是任意大於<math>l</math>的數，<math>\limsup_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}\leq l</math>。當<math>l=\infty</math>，不等式顯然成立。 

假設<math>-\infty <m:=\liminf_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\leq\infty</math>, 於是存在 <math>p,q\in \mathbb R</math> 使得 <math>q'<p'<m</math>。因此我們有 <math>\exists n_0\in \mathbb N, \forall n\geq n_3, b_n>0 </math> 而且 <math>p'<\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}</math>。 

那麼，給定<math>n\geq n_0</math>，注意到 <math>a_{n+1}=(a_{n+1}-a_{n})+\cdots+(a_{n_0+1}-a_{n_0})+a_{n_0}<p(b_{n+1}-b_{n_0})+a_{n_0}</math>。因為 <math>b_{n+1}>0</math>, 我們有 <math>p\left(1-\frac{b_{n_0}}{b_{n+1}}\right)+\frac{a_{n_0}}{b_{n+1}}<\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}</math>。

令<math>c_n=p\left(1-\frac{b_{n_0}}{b_{n}}\right)+\frac{a_{n_0}}{b_{n}}</math>，由於<math>\lim_{n\to \infty}b_n=\infty</math>, 於是<math>\lim_{n\to \infty}c_n=p'</math>。因此我們有<math>\exists n_1\in \mathbb N, \forall n\geq n_4, q'<c_n</math>。那麼，對於<math>n\geq n_5:=\max\{n_3, n_4\}</math>，我們有 <math>q'<\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}</math>。 

於是，當<math>n\to \infty</math>，我們有<math>q'\leq \liminf_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}</math>。因為<math>q'</math>是任意小於<math>m</math>的數，<math>m\leq\limsup_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}</math>。當<math>l=-\infty</math>，不等式顯然成立。 

對於<math>(b_n)</math>為嚴格遞減並發散至<math>-\infty</math>的情況，注意到<math>\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\frac{(-a_{n+1})-(-a_n)}{(-b_{n+1})-(-b_n)}</math> 且<math>(-b_n)</math> 為一個嚴格遞增至<math>\infty</math>的數列即得證。

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
* Marian Mureşan: ''A Concrete Approach to Classical Analysis''. Springer 2008, ISBN 978-0-387-78932-3, p.&nbsp;85 ({{Google books|5iK9OX9z014C|restricted online copy|page=85}})
* {{Cite book |author={{link-en|奥托·施托尔茨|Otto Stolz}} |year=1885 |title=''Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten'' |trans_title= 一般算数讲义：新视角 |publisher={{link-de|B.G.托伊布内出版社|B. G. Teubner Verlag}} (原出版商)，[[互联网档案馆]] (存档网站) |location=[[莱比锡]] |isbn= |pages=173–175 |language=de |url=http://archive.org/stream/vorlesungenbera01stolgoog#page/n181/mode/1up}}

{{DEFAULTSORT:Stolz–Cesàro theorem}}
[[Category:实分析定理]]
[[Category:审敛法]]