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[[File:Stokes sphere.svg|right|thumb|150px|绕球体的轴对称[[斯托克斯流动]]的流线]]

'''斯托克斯流函数'''（{{lang-en|Stokes stream function}}）在[[流体力学]]中用于描述[[轴对称]]的三维[[不可压缩流体]]的[[流线]]与[[流速]]。斯托克斯流函数的等值面形成流管，其上的每一点都与速度矢量相切。此外，流管内的体积流量为定值，所有流线也皆位于流管表面上。斯托克斯流函数对应的速度场为[[螺线矢量场]]（[[散度]]为零）。该流函数因纪念著名流体力学家[[乔治·斯托克斯]]得名。

== 圆柱坐标 ==
[[File:Cylindrical with grid.svg|thumb|300px|圆柱坐标系示意图]]
在[[圆柱坐标系]] (&nbsp;''ρ''&nbsp;,&nbsp;''φ''&nbsp;,&nbsp;''z''&nbsp;) 中，假设不可压缩流关于 ''z'' 轴呈轴对称。则流体的径向速度 ''u<sub>ρ</sub>'' 与轴向速度 ''u<sub>z</sub>'' 与可以通过斯托克斯流函数<math>\Psi</math>得到：
:<math>
  \begin{align}
  u_\rho &= - \frac{1}{\rho}\, \frac{\partial \Psi}{\partial z},
  \\
  u_z    &= + \frac{1}{\rho}\, \frac{\partial \Psi}{\partial \rho}.
  \end{align}
</math>
周向速度''u<sub>φ</sub>'' 则与流函数无关。通过斯托克斯流函数等值面（''ψ''为定值）的体积流量为 ''2π&nbsp;ψ''。

== 球坐标 ==
[[File:spherical with grid.svg|thumb|right|300px|球坐标系示意图]]
在[[球坐标系]] (&nbsp;''r''&nbsp;,&nbsp;''θ''&nbsp;,&nbsp;''φ''&nbsp;)中，以 ''θ''&nbsp;=&nbsp;0 为不可压缩流的对称轴。于是速度在 ''θ'' 与 ''r''方向上的分量为：
:<math>
  \begin{align}
  u_r      &= + \frac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \frac{\partial \Psi}{\partial \theta},
  \\
  u_\theta &= - \frac{1}{r\, \sin(\theta)}\, \frac{\partial \Psi}{\partial r}.
  \end{align}
</math>

与圆柱坐标系下的情形相同，''u<sub>φ</sub>'' 并非流函数的函数。通过流函数等值面的体积流量也与之前相同，为 ''2π&nbsp;ψ''。

== 参考文献 ==
*{{cite book | first=G.K. | last=Batchelor | title=An Introduction to Fluid Dynamics | year=1967 | publisher=Cambridge University Press | isbn=0-521-66396-2 }}
*{{cite book | first=H. | last=Lamb | authorlink=贺拉斯·兰姆 | year=1994 | title=Hydrodynamics | publisher=Cambridge University Press | edition=6th| isbn=978-0-521-45868-9 }} Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.
*{{cite journal | first=G.G. | last=Stokes | authorlink=乔治·斯托克斯 | year= 1842 | title= On the steady motion of incompressible fluids | journal= Transactions of the Cambridge Philosophical Society | volume= 7 | pages= 439–453 | bibcode=1848TCaPS...7..439S }}<br>Reprinted in: {{cite book | first= G.G. | last=Stokes | year= 1880 | title= Mathematical and Physical Papers, Volume I | publisher= Cambridge University Press | pages= 1–16 | url= https://archive.org/details/mathphyspapers01stokrich }}

[[Category:流体力学]]