查看“︁数域”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
'''数域'''是[[抽象代数|近世]][[代数学]]中常见的概念，指对[[加法|加]][[减法|减]][[乘法|乘]][[除法|除]][[四则运算]][[閉包 (數學)|封闭]]的[[代数结构]]。通常定义的数域是指[[複數 (數學)|复数域]]<math>\mathbb{C}</math>的[[体 (数学)|子域]]。“数域”一词有时也被用作[[代数数域]]的简称，但两者的定义有细微的差别。

==定义==
设<math>\mathcal{P}</math>是复数域<math>\mathbb{C}</math>的子集。若<math>\mathcal{P}</math>中包含0与1，并且<math>\mathcal{P}</math>中任两个数的和、差、乘积以及商（约定[[带余除法|除数]]不为0）都仍在<math>\mathcal{P}</math>中，就称<math>\mathcal{P}</math>为一个数域{{r|wef|page=101}}。用[[域论]]的话语来说，复数域的[[体 (数学)|子域]]是为数域{{r|zxk|page=5}}。

任何数域都包括[[有理数|有理数域]]<math>\mathbb{Q}</math>{{r|wef|zxk|page1=103|page2=5}}，但并不一定是<math>\mathbb{Q}</math>的[[有限扩张]]，因此数域不一定是代数数域。例如实数域<math>\mathbb{R}</math>和复数域<math>\mathbb{C}</math>都不是代数数域。反之，每个代数数域都同构于某个数域。

==例子==
除了常见的实数域<math>\mathbb{R}</math>和复数域<math>\mathbb{C}</math>以外{{r|zxk|page=5}}，通过在有理数域中添加特定的无理数进行扩张得到的扩域也是数域。例如所有形同：
:<math>a + b\sqrt{2}, \; \; a, b \in \mathbb{Q}</math>
的数的集合，就是一个数域。可以验证，任何两个这样的数，它们的和、差、乘积以及商（约定[[带余除法|除数]]不为0）都能写成<math>a+b\sqrt{2}</math>的形式，故仍然在集合之中{{r|wef|page=102}}。这个集合记作<math>\mathbb{Q}(\sqrt{2})</math>，是有理数域<math>\mathbb{Q}</math>的[[二次域|二次扩域]]。
===可构造数===
[[规矩数|可构造数]]也叫规矩数，指的是从给定的单位长度开始，能够通过有限次标准的[[尺规作图|尺规作图步骤]]做出的长度数值。所有可构造数的集合记为<math>\mathcal{C}</math>，是一个数域{{r|hgz|page=160-161}}。因为给定了两个已经做出的[[线段]]后，可以通过符合尺规作图规定的手段，在有限步内作出长度为两者长度之和、差、乘积以及商的线段。<math>\mathcal{C}</math>是<math>\mathbb{Q}</math>的扩域，次数为无限大，是实数域<math>\mathbb{R}</math>的子域{{r|hgz|page=161}}。

===代数数===
[[代数数]]指能够成为某个有理系数[[多项式]]的根的数。所有代数数的集合记作<math>\mathcal{A}</math>，是一个数域。<math>\mathcal{A}</math>也常被称为代数数域，但与定义为“<math>\mathbb{Q}</math>的有限扩张”的代数数域是不同的概念。不过，每个<math>\mathbb{Q}</math>的有限扩张生成的域都可看作是<ref group="N">在[[同构]]意义上。</ref><math>\mathbb{Q}</math>中加入某个代数数扩成的，所以都是<math>\mathcal{A}</math>的子域。可构造数构成的数域<math>\mathcal{C}</math>也是<math>\mathcal{A}</math>的子域。由于[[虚数单位]]{{mvar|i}}也是代数数，所以<math>\mathcal{A}</math>不是<math>\mathbb{R}</math>的子域。另一方面，[[自然对数的底]]{{mvar|e}}以及[[圆周率]]{{mvar|π}}都不是代数数，所以<math>\mathbb{R}</math>也不是<math>\mathcal{A}</math>的子域<ref group="N">事实上<math>\mathcal{A}</math>的元素个数是[[可数集|可数]]的，所以元素个数不可数的<math>\mathbb{R}</math>不可能是<math>\mathcal{A}</math>的子域。</ref>。

==注释==
{{Reflist|group="N"}}

==参考来源==
{{reflist|refs=
<ref name="wef">{{cite book|author=王萼芳|title=高等代数教程|year=1997|publisher=清华大学出版社|isbn=9787302024521}}</ref>
<ref name="zxk">{{cite book|author=张贤科, 许甫华|title=高等代数学|year=2004|publisher=清华大学出版社|isbn=9787302082279}}</ref>
<ref name="hgz">{{cite book|author=胡冠章, 王殿军|title=应用近世代数|year=2006|publisher=清华大学出版社|isbn=9787302125662}}</ref>
}}

[[Category:代数结构]]
[[Category:抽象代数]]