查看“︁数列极限”︁的源代码

{{微積分學}}
{{otheruse|极限}}
'''数列極限'''（{{lang-en|limit of a sequence}}）為某些[[数列]]才擁有的特殊值，當數列的下標越來越大的時候，數列的值也就越接近那個特殊值。

==定義==
{{math_theorem
|name=極限的定義
|math_statement=
取一[[复数 (数学)|复数]]數列 <math>{\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}</math>，若有一複數 <math>z \in \C</math> ，使得

:「对于任意的正[[实数]] <math>\epsilon > 0</math>，存在[[自然数]] <math>n \in \N</math> ，使得任意的[[自然数]] <math>i \in \N</math>，只要 <math>i > n</math>，則 <math>|z_i - z| < \epsilon</math> 」

用[[一阶逻辑|正式的邏輯語言]]来表示即

:<math>(\forall \epsilon > 0)(\exists n \in \N)(\forall i \in \N)
[\,(i > n) \Rightarrow (|z_i - z| < \epsilon)\,]</math>

则称数列<math>{\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}</math>'''收敛'''于 <math>z</math>（convergent to <math>z</math> ），並记作
:<math>\lim _{i \to \infty} z_i = z </math>
如果不存在這樣的複數 <math>z \in \C</math>，則稱 <math>{\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}</math> 是'''發散'''的（divergent）。
}}

=== 實數數列的極限 ===
從上面的定義可以證明，對實數數列 <math>\{z_i \in \R\}_{i \in \N}</math> 來說，若
:<math>\lim _{i \to \infty} z_i = z </math>
則其極限 <math>z</math> 一定為[[实数]] ，因為假設 <math>z</math> 的虛部 <math>\operatorname{Im}(z) \neq 0</math> 的話，則對極限定義取 <math>\epsilon = |\operatorname{Im}(z)| > 0</math> 的話，會存在 <math>n \in \N</math> ，使得任意的 <math>i \in \N</math>，只要 <math>i > n</math>有
:<math>|z - z_i|
=
\sqrt{{[\operatorname{Re}(z) - z_i]}^2 + {|\operatorname{Im}(z)|}^2} < |\operatorname{Im}(z)| </math>
這是矛盾的，所以根據[[一阶逻辑#反證法|反證法]]，<math>\operatorname{Im}(z) = 0</math> ，即 <math>z \in \R</math> 。

== 基本性質 ==
=== 唯一性 ===
{{Math theorem
|math_statement= 
若數列 <math>{\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}</math> 的極限存在，則極限是唯一的。<ref name="“数分”">{{cite book|author=华东师范大学数学系|title=数学分析 第四版 上册|publisher=高等教育出版社|location=北京|isbn=978-7-04-029566-5|date=2010年7月第4版}}</ref>{{RP|29}}
}}
{{Math proof
|proof=
設數列 <math>{\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}</math> 有兩個不相等的極限值<math>z_1,\, z_2 \in \C</math>，則根據假設，對任意的 <math>\epsilon > 0</math> ，存在 <math>n_1,\,n_2 \in \N</math>，使任意 <math>i \in \N</math>，只要 <math>i > \max\{n_1,\,n_2\}</math> 就有
:<math>|z_i - z_1| < \frac{\epsilon}{2}</math>
:<math>|z_i - z_2| < \frac{\epsilon}{2}</math>
這樣根據[[三角不等式]]，對任意的 <math>\epsilon > 0</math> ， 只要自然數 <math>i > n</math>  就有則
:<math>|z_1 - z_2| = |(z_1 - z_i) - (z_2 - z_i)| \le |z_1 - z_i| + |z_2 - z_i| < \epsilon</math> 

這樣的話，假設 <math>|z_1 - z_2| > 0</math> 會得到
:<math>|z_1 - z_2| < |z_1 - z_2|</math> 

這樣是矛盾的，故根據[[一阶逻辑#反證法|反證法]]， <math>|z_1 - z_2| = 0</math> ，也就是  <math>z_1 = z_2</math>，故極限唯一。<math>\Box</math>
}}
=== 有界性 ===
{{Math theorem
|math_statement= 
若數列<math>\{x_i \in \R\}_{i \in \N}</math>有極限，則存在正[[实数]] <math>M > 0</math> ，使得對所有的[[自然数]] <math>i \in \N</math> 都有 <math>|x_i| \le M</math>。<ref name="“数分”" />{{RP|29-30}}

（即 <math>\{x_i \in \R\}_{i \in \N}</math> 有極限則必為'''有界'''數列）
}}
{{Math proof
|proof=
因為<math>\{x_i \in \R\}_{i \in \N}</math>有極限，假設有[[实数]] <math>L \in \R</math> 滿足
:<math>\lim _{n \to \infty} x_n=L</math> 
這樣的話，對於 <math>\epsilon = 1</math> ，存在[[自然数]] <math>n \in \N</math>，使得任意的[[自然数]] <math>i \in \N</math>，只要 <math>i > n</math>，則
:<math>|x_i - L| < \epsilon  = 1</math> 

從而
:<math>|x_n| = |(x_n - L) + L| \le |x_n - L| + |L| < 1 + |L|</math> 

這樣的話，令
:<math>M = \max \left(
|x_1|,\ |x_2|,\cdots ,\ |x_n|,\ 1 + |L|
\right)</math> 

就會有
:<math>|x_i| \le M</math> 

故得証。<math>\Box</math>
}}
根據[[实质条件]]的意義，上面的定理等價於「如果一個實數數列無界，則這個實數數列一定發散。」<ref name="“数分”" />{{Rp|30}}

注意有界數列不一定有極限，如數列 <math>1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ \frac{1 - (-1)^n}{2},\cdots </math>  是一個有界數列，但沒有極限。

但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，則可以證明，數列存在極限。

=== 保序性 ===
{{Math theorem
|math_statement= 
有實數數列 <math>\{x_i \in \R\}_{i \in \N}</math> 和 <math>\{y_i \in \R\}_{i \in \N}</math> ，若

:<math>\lim _{n \to \infty} x_n=a</math>
:<math>\lim _{n \to \infty} y_n=b</math>

則「<math>a > b</math> 」等價於「存在<math>n \in \N</math>  使任何 <math>i \in \N</math> 只要 <math>i > n</math> 就有 <math>x_i > y_i</math>」。<ref name="“数分”" />{{RP|30}}
}}
{{Math proof
|proof=
'''左至右'''：

取<math>\epsilon  = \frac{a - b}{2} > 0</math>，則由前提假設，存在 <math>n_1,\,n_2 \in \N</math>  使任何 <math>i \in \N</math> 只要 <math>i > \max\{n_1,\,n_2\}</math> 就有
:<math>|x_i - a| < \frac{a - b}{2}</math> 
:<math>|y_i - b| < \frac{a - b}{2}</math> 
从而
:<math>y_n < b + \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2}</math> 

故
:<math>y_n < \frac{a + b}{2} < x_n</math> 

這樣取 <math>n = \max\{n_1,\,n_2\}</math> ，左至右就得證。<math>\Box</math>

'''右至左'''：

由前提假設，對任意的 <math>\epsilon > 0</math> ，存在 <math>n_1,\,n_2 \in \N</math>  使任何 <math>i \in \N</math> 只要 <math>i > \max\{n_1,\,n_2,\,n\}</math> 就有
:<math>\epsilon -a < x_i < \epsilon + a</math> 
:<math>\epsilon -b < y_i < \epsilon + b</math> 
:<math>x_i > y_i</math> 
从而
:<math>0 < x_i - y_i < a- b</math> 

故得證。<math>\Box</math>
}}

== [[四則運算]]定理 ==
設<math>\lim _{n \to \infty} x_n=a</math>，<math>\lim _{n \to \infty} y_n=b</math>，則

# <math>\lim _{n \to \infty} \left( {{x_n} \pm {y_n}} \right)= a \pm b</math>；
# <math>\lim _{n \to \infty } {x_n} \cdot {y_n} = a \cdot b</math>；
# 若<math>b \ne 0,{y_n} \ne 0</math>,則<math>\lim _{n \to \infty } \frac{{{x_n}}}{{{y_n}}} = \frac{a}{b}</math>.

==審斂法==
其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为[[单调收敛定理]]，和[[最小上界公理|實數完備性]]相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

== 柯西數列 ==
{{main|柯西序列}}

==参考文献列表==
{{reflist}}
== 參看 ==
* [[级数]]
* [[函数极限]]

[[Category:微积分]]
[[Category:序列]]