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{{copyedit|time=2012-10-17T09:02:40+00:00}}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''数列'''（{{lang-en|Number sequence}}）是由数字組成的[[序列]]。另一種略為抽象的說法是——以[[正整數]]為定義域、值域是一個[[数|數系]]的[[函数]]。[[级数]]也是一種数列，不過它的每一項是另外一個數列的部份和。在微積分的教材中經常討論的数列是實數序列和實數級數。一般的「序列」则范围更广，可以由有序的一系列数字、一系列[[函数 (数学)|函数]]、一系列[[矢量|向量]]、一系列[[矩阵]]或一系列[[张量]]等等所组成。而在計算理論中，数列以及相关术语常用于有关[[递回关系式|递推规律]]的研究。

== 正式定義 ==
由於最一般的數為[[复数 (数学)|複數]]，可以作如下的定義：<ref>{{cite book |author=谭杰锋 |author2=郑爱武 |title=高等数学 |publisher=清华大学出版社; 北京交通大學出版社 |edition= |ISBN=978-7-8108-2647-1 |language=zh-cn |year=2007}}。</ref>
{{math_theorem
|name=數列的定義
|math_statement=
一個 <math>a:\N\to\C </math> 的函數被稱為'''無窮數列'''，可記為 <math>{\left\{
a_i
\right\}}_{i\in\N} </math> 、 <math>{\left\langle
a_i
\right\rangle}_{i\in\N} </math> 或 <math>{\left(
a_i
\right)}_{i\in\N} </math> ，而 <math>a(i) </math> 會被簡記為 <math>a_i </math> 。

若 <math>I_n = 
\left\{
1,\,2,\,\cdots,\,n
\right\} </math> ，則一個 <math>a:I_n\to\C </math> 的函數被稱為'''有限數列'''，可記為 <math>{\left\{
a_k
\right\}}^{n}_{k=1} </math> 、 <math>{\left\langle
a_k
\right\rangle}^{n}_{k=1} </math> 或 <math>{\left(
a_k
\right)}^{n}_{k=1} </math> 。
}}
在教學上常會如下標示有限數列，來增進對定義的直觀理解：

:<math>\left \langle a_k \right \rangle_{k=1}^n= \left \langle a_1,\, a_2,\, a_3,\, \cdots ,\,a_n \right \rangle</math> 

以上表達式中的每一个数被称为这个数列的「项」。<math>a_1 </math> 为数列的「第一项」、<math>a_2 </math> 为「第二项」，以此類推。<math>n </math> 被稱為有限數列的'''項數'''。數列中的第一项常稱為「首項」，最后一项則称为「末项」。注意有限數列也可以設為 <math>\left \langle a_k \right \rangle_{k=0}^n</math> ，換句話說，把 <math>0 </math> 加入數列的定義域，並以第零項 <math>a_0 </math> 作為首項。無窮數列只有首項，沒有末項，但類似的，也有人把 <math>0 </math> 踢出無窮數列的定義域，讓無窮數列的首項為 <math>a_1 </math> 。

由數列中各個項的[[求和|和]]組成的數列稱為「[[级数|級數]]」，換句話說

{{math_theorem
| name = 級數的定義
| math_statement = 一個數列 <math>{\left\{ a_i \right\}}_{i\in\N}</math> 的'''級數'''是另外一個數列 <math>{\left\{ s_i \right\}}_{i\in\N}</math> ，具有以下特性：
* <math>s_0 = a_0</math>
* 對所有的 <math>n\in\N</math> 有 <math>s_{n+1} = s_n + a_n</math>
}}
一般會將 <math>{\left\{
s_i
\right\}}_{i\in\N} </math> 寫為 <math>\sum^{n}_{i=0} a_i </math> ，甚至更直觀的 <math>a_0 + a_1 + \cdots + a_n </math> 來凸顯級數源於求和」的直觀概念。

[[级数|級數]]的概念可以推廣至數列以外的序列，比如說函數序列的{{link-en|函数級數|function series}}。

== 分類 ==

===單調性===
* 若對所有 {{math|''n'' ∈ '''Z'''<sup>+</sup>}} ，{{math|''a''<sub>''n''+1</sub> ≥ ''a''<sub>''n''</sub> }} ，则称数列 {{math|⟨''a''<sub>''k''</sub>⟩}} 为「'''递增数列'''」。把 {{math|≥}} 換成 {{math|>}} ，則稱為「'''嚴格遞增數列'''」。
* 若對所有 {{math|''n'' ∈ '''Z'''<sup>+</sup>}} ，{{math|''a''<sub>''n''+1</sub> ≤ ''a''<sub>''n''</sub> }} ，则称数列 {{math|⟨''a''<sub>''k''</sub>⟩}} 为「'''递减数列'''」。把 {{math|≤}} 換成 {{math|<}} ，則稱為「'''嚴格遞减數列'''」。
* 若對所有 {{math|''n'' ∈ '''Z'''<sup>+</sup>}} ，{{math|''a''<sub>''n''+1</sub> {{=}} ''a''<sub>''n''</sub> }} ，则称数列 {{math|⟨''a''<sub>''k''</sub>⟩}} 为「'''常数数列'''」。

===有限性===

* 若數列 <math>\left \langle a_k \right \rangle_{k=1}^n</math> 的项数有限，則 {{math|⟨''a''<sub>''k''</sub>⟩}} 为「'''有限数列'''」。
* 若數列 <math>\left \langle a_k \right \rangle_{k=1}^\infty</math> 的项数无限，則 {{math|⟨''a''<sub>''k''</sub>⟩}} 为「'''无穷数列'''」。

=== 有界性 ===
* 若對所有 {{math|''n'' ∈ '''Z'''<sup>+</sup>}} ，{{math|''M'' ≤  ''a''<sub>''n''</sub> ≤ ''N'' }} ，则称数列 {{math|⟨''a''<sub>''k''</sub>⟩}} 为「'''有界数列'''」。 {{math|''M''}} 稱為「下界」， {{math|''N''}} 稱為「上界」。
* 若對數列 {{math|⟨''a''<sub>''k''</sub>⟩}} ，上述的 {{math|''M''}} 、 {{math|''N''}} 不存在，则称数列 {{math|⟨''a''<sub>''k''</sub>⟩}} 为「無界数列」。

== 收斂性與極限 ==
'''收斂性'''是數列的一個重要性質。如果一個數列逐漸趨近於某一個值，就稱該數列為'''收斂數列'''，否則稱為'''發散數列'''。

簡單的說，一個數列<math>\{x_n\}</math>有極限，便是它的數列中的元素逐漸地越來越靠近<math>L</math>（稱為極限值），但是它們仍然任意得很靠近極限值<math>L</math>，而不一定恰好相等。

舉例來說：當 <math>a_n=\frac{1}{n}</math> 時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於0。當 <math>a_n=5 - \frac{3n^2-9}{n^2+1}</math>時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於2。

此外，值得注意的是，當一個數列有極限值時，它的極限值一定是唯一的。一般來說，當數列收斂，我們會記<math>\lim_{n \to \infty }a_{n} = L</math>。

=== 收斂的嚴格定義 ===
我們說一個實數數列<math>\{a_n\}</math>收斂於實數<math>L</math>；如果對任意的<math>\epsilon>0</math> ，存在一個正整數<math>N \in \N</math>，使得對所有的<math>n \geq N</math>，有<math>|a_{n}-L|<\epsilon</math>。

== 重要的特殊数列 ==
* [[等差数列]]：是一种特殊数列。数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。

::例如数列<math>1,3,5,7,9,\cdots,9995,9997,9999,\cdots</math>。

::这就是一个等差数列，因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等，都等于<math>2</math>；<math>9999</math>与<math>9997</math>的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为[[公差 (数学)|公差]]，符号为<math>d</math>，但是<math>d</math>可为0。

::若設首項<math>a_1 = a</math>，則等差數列的通項公式為<math>a_n=a_1+(n-1)d</math>。

*[[多阶等差数列]]：又称高阶等差数列，中國则称之为“质数相关数列”。
::把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，如果这个新的数列是普通等差数列，原数列就称为二阶等差数列。
::由此类推，把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列，如此进行下去，直到最后的数列如果是普通等差数列，那么原数列就是多阶等差数列。
::普通等差数列可以视为一阶等差数列，因而常数数列实际就是零阶等差数列。
*[[等比数列]]：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

::例如数列<math>2,4,8,16,32,\cdots,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots</math>。

::这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，<math>2^{198}</math>与<math>2^{197}</math>的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为[[公比]]，符号为<math>r</math>。

::若設首項<math>a_1 = a</math>，則等比數列的通項公式為<math>a_n=ar^{n-1}</math>。

*[[斐波那契数列]]：是一种特殊数列。它的特点是：首兩項均是1，从第3项起，每一项均為前兩項的和。

::以數學符號表示，即<math>a_1=a_2=1</math>，且對於<math>n\ge 3</math>，<math>a_n=a_{n-1}+a_{n-2}</math>。

::斐波那契数列的通项公式為<math>a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)^n-\left({\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)^n\right]</math>。

*[[質數]]數列：目前找不到規律的特殊數列，即：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…………

*正负相间：<math>(-1)^n</math>或<math>(-1)^{n-1}</math>

*隔项有零：<math>\frac{1}{2} [(-1)^n+1]</math>或<math>\frac{1}{2} [(-1)^{n-1}+1]</math>

== 数列的求和 ==
{{main|求和符号}}

通常对第1项到第<math>n</math>项求和，记为<math>S_n=\sum_{k=1}^n a_k</math>。此求和符号是由瑞士数学家[[莱昂哈德·欧拉]]使用和推广的。

一个特殊数列求和：奇数数列。1，3，5，7，9，...。其和为项数<math>n</math>的平方。例如：1+3=2<sup>2</sup>,1+3+5=3<sup>2</sup>。

== 通项公式的求解 ==
{{main|递推关系式}}
通常，从实际问题中会先得到一个递推关系式，但是可能会难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以需要求出这个数列的通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在[[积分学]]、[[线性代数]]、[[概率论]]、[[组合数学]]、[[趣味數學|趣味数学]]、[[数学物理]]、[[数学建模]]、[[数值分析]]、[[分形]]等领域中都会遇到。并不存在一种通用的解法。求不出通项公式或只能进行估算的情形也可能出现。

=== 数学归纳法 ===
求出该数列的前数项，归纳其通项公式，然后用[[数学归纳法]]证明公式正确。

数学归纳法是最基本的方法，但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律，则不能使用此方法。

=== 逐差全加 ===
给定数列差<math>d_n</math>时逐差全加，例如：
:<math>a_1=1</math>，<math>d_n=a_n-a_{n-1}=2n</math>, 求<math>a_n</math>
:<math>a_n=a_1+\sum_{k=2}^n d_k=n^2+n-1</math>

=== 逐商全乘 ===
给定数列比<math>r_n</math>时逐差全乘，例如：
:<math>a_1=1</math>，<math>r_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n}{n-1}</math>，求<math>a_n</math>
:<math>a_n=a_1\prod_{k=2}^n r_k=n</math>

=== 从和式求通项 ===
如果已知数列和的公式，那么通项的求解非常容易。由<math>S_n=\sum_{k=1}^n a_n</math>可知<math>S_n-S_{n-1}=a_n</math>

把<math>S_n</math>看成一个数列，可以先对<math>S_n</math>进行求解，然后得出<math>a_n</math>。

=== 换元法 ===
[[换元法]]用于从形式上简化表达式，以突出问题的本质。换元法一般不单独使用，而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有[[对数]]换元法、[[三角函数]]换元法，还有用得很少的[[双曲函数]]换元法。

=== 不动点法 ===
对于形如齐次分式的递推关系，可利用不动点来推导。

已知<math>Aa_{n+1}+Ba_n+C=0</math>，其中<math>A</math>、<math>B</math>、<math>C</math>都是常数，求<math>a_n</math>。<br />
求这类数列的通项公式，一般的方法就是将之化成一个新的[[等比数列]]。

* 如果<math>A\ne-B</math>，那么这个式子就可以化成下面的形式：
<math>A(a_{n+1}+k)=-B(a_n+k)</math>。<br />
求出<math>k</math>，那么数列<math>{a_n+k}</math>就是一个等比数列，从而求出通项公式。<br />

* 如果<math>A=-B</math>，这个递推关系就不能化为等比数列。如果<math>A=-B</math>，那么它就是[[等差数列]]。另外，当<math>A=B</math>的时候，它是一个等和数列。从这个问题我们可以看到，等和数列也可以化成一个等比数列。
* 除此之外也可以这样将之化成等比数列：
<math>Aa_{n+1}+Ba_n+C=0</math><br />
<math>Aa_n+Ba_{n-1}+C=0</math><br />
两边相减就有：<math>A(a_{n+1}-a_n)+B(a_n-a_{n-1})=0</math>，如此就化成了一个等比数列。<br />

已知<math>Aa_{n+1}+Ba_n+Ca_{n-1}+D=0</math>,其中<math>A</math>、<math>B</math>、<math>C</math>、<math>D</math>都为[[常数]]，求<math>a_n</math>；<br />
与上述数列一样，它们一定可以化成下面的形式：<br />
<math>Aa_{n+1}+Ea_n=k(Aa_n+Ea_{n-1})-D
</math><br />
求出对应[[系数]]，于是就转化成了前面那种形式，然后就可以求出数列<math>{Aa_n+Ea_{n-1}}</math>的通项公式，然后求出<math>a_n</math>的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。<br />

=== 其它方法 ===
其它常用方法包括[[导数]]求通项法、组合数学中的[[母函数]]方法、[[特征方程]]法，这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简，与求解[[线性微分方程]]的特征方程法非常类似。

== 在其他數學領域的使用 ==

=== 拓樸 ===

=== 分析 ===

=== 線性代數 ===

=== 抽象代數 ===

== 参见 ==
* [[整數數列線上大全|整数数列线上大全]] (OEIS)

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:sequence of number}}
[[Category:初等数学]]
[[Category:序列]]